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ベクトルの外積の定義について質問
ベクトルの外積を求める際、ベクトルの要素から計算する方の外積の計算がなぜ成立するのか意味がわかりません。sinが出てくるほうの式はわかります。 とりあえず、行列が関係しているらしいので一行二列のベクトルをかけるとそうなるんだと思っているのですが、行列が苦手なのでいつも恐る恐る使っています。
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- aiueo95240
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3次元ベクトルa,bの外積は、 3次元ベクトルa,bで作られる平行四辺形の面積をベクトルの絶対値としてもち、平行四辺形に垂直な方向を向いているベクトル（いわゆる面積ベクトル）という幾何学的意味もありますが、 3次元ベクトルa,bで作られる平行四辺形をyz平面、zx平面、xy平面に正射影した向きつき面積をそれぞれx成分、y成分、z成分として持つベクトルという幾何学的意味もあります。 行列式の余因子展開とも関連あります。 つまり、 3次元ベクトルa,b,cで作られる平行六面体の向きつき体積 ＝|a b c| ＝(a×b)・c ＝行列式の第三列での余因子展開 http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic2/data/inv3.pdf また、ベクトルの外積にも、 幾何的側面(図形の意味)、 解析的側面(計算の意味)、 代数的側面(性質の意味) があります。
お礼
回答ありがとうございます。
- alice_44
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定義に解るも解らないも無いでしょう？ そういうモノとして覚えるだけです。 sin が出てくるほうから成分計算を導くよりも 成分計算で定義して sin の式を導くほうが 遥かに簡単ですから、 どちらを定義に採用すべきかは明らかだと思います。 両者の定義が同値だと理解した上で、 直感的な「意味」は、 sin のほうで捉えておけばよいだけの話です。
お礼
回答ありがとうございます。 でも定義には意味があったりドラマがあったりいろいろ楽しいんですよね。 それに、記憶の観点からも理解しているものの方が残りやすいので質問しました。
Vectora、bを a（a１、a2、a3） ｂ（ｂ１、ｂ２、ｂ３） とする。 直交単位基底Vectorを e1、e2、e3とする。長さを＝１とする。 a×b=(a1e1+a2e2+a3e3)×(b1e1+b2e2+b3e3) =a1e1×b1e1+a1e1×b2e2+a1e1×b3e3 +a2e2×b1e1+a2e2×b2e2+a2e2×b3e3 +a3e3×b1e1+a3e3×b2e2+a3e3×b3e3 =0+a1b2e3-a1eb3e2 -a2b1e3+0+a2b3e1 +a3b1e2-a3b2e1+0 =(a2b3-a3b2)e1+(a3b1-a1b3)e2+(a1b2-a2b1)e3 =｜e1、e2、e3｜ ｜a1、a2、a3｜ ｜b1、b2、b3｜ 一般に N次元のVector｛ｖ(n)｝ （n=１，２、・・・、ｎ） がある。 ｖ（１） ｖ（２） ｖ（３） ・ ・ ・ ・ v（ｎ） である。 Vectorｖ（１）の成分を ｖ（１）｛ｖ（１，１）、ｖ（１，２）、・・・、v(1,n)｝ とする。 ｖ（１，１）＝e1＝１、０，０、・・・、０ ｖ（１，２）＝e2＝０、１、０、・・・、０ ・ ・ ・ ・ ｖ（１、n）=en＝０、０、０、・・・、１ とする。すなはち、長さが＋１の直交単位基底Vectorとする。 このとき N次元でN個のVector v(n)の Vector外積 ｛ｖ（１）｝X｛ｖ（２）｝X｛ｖ（３）｝X・・・X｛ｖ（n）｝ ＝｜ｖ（１，１）、ｖ（１，２）、・・・、ｖ（１、n）｜ ｜ｖ（２，１）、ｖ（２，１）、・・・、ｖ（２、ｎ）｜ ｜ｖ（３、１）、ｖ（３，１）、・・・、ｖ（３、ｎ）｜ ｜ ・ ｜ ｜ ・ ｜ ｜ ・ ｜ ｜ｖ（ｎ、１）、ｖ（ｎ、１）、・・・、ｖ（ｎ、ｎ）｜ ＝｜ e1、 e2、 ・・・、 en ｜ ｜ｖ（２，１）、ｖ（２，１）、・・・、ｖ（２、ｎ）｜ ｜ｖ（３、１）、ｖ（３，１）、・・・、ｖ（３、ｎ）｜ ｜ ・ ｜ ｜ ・ ｜ ｜ ・ ｜ ｜ｖ（ｎ、１）、ｖ（ｎ、１）、・・・、ｖ（ｎ、ｎ）｜ が成り立つ。 これで良いかな？
お礼
回答ありがとうございます。 「一般に」から「が成り立つ」までの意味はわかりますが、 それがなぜ外積を成すのかがわかりません。 また、No3の方のと同じく、 e1=e2×e3=-(e3×e2) 1=2×3=-(3×2) , 2=3×1=-(1×3) , 3=1×2=-(2×1) は何の公式なのかわかりません。
- hugen
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a×b=(a1e1+a2e2+a3e3)×(b1e1+b2e2+b3e3) =a1e1×b1e1+a1e1×b2e2+a1e1×b3e3 +a2e2×b1e1+a2e2×b2e2+a2e2×b3e3 +a3e3×b1e1+a3e3×b2e2+a3e3×b3e3 =0+a1b2e3-a1eb3e2 -a2b1e3+0+a2b3e1 +a3b1e2-a3b2e1+0=(a2b3-a3b2)e1+(a3b1-a1b3)e2+(a1b2-a2b1)e3 e1=e2×e3=-(e3×e2) 1=2×3=-(3×2) , 2=3×1=-(1×3) , 3=1×2=-(2×1)
お礼
回答ありがとうございます。 わかりやすいです。が、 e1=e2×e3=-(e3×e2) 1=2×3=-(3×2) , 2=3×1=-(1×3) , 3=1×2=-(2×1) この部分って何かの公式なのですか？ 見たことがないです。
A↑ＸＢ↑＝｜Ａ↑｜｜Ｂ↑｜sinθ・・・・（１） はわかると。 これは定義なのでわかって当然です。 次に行列式を使った表現があります。 行列式の定義をキチント理解するとわかってくるのですが。 Ａ↑＝（a1、a２、a３） B↑＝（ｂ１、ｂ２、ｂ３）のとき A↑XB↑ ＝｜i↑、ｊ↑、ｋ↑｜ ｜a１、a２、 a3 ｜ |b1、 b2、 ｂ３｜ ,ただし、i↑、j↑、ｋ↑は 直行基底Vectorで長さは＝１とする。
お礼
回答ありがとうございます。 直交基底の言葉の意味はわかりますが、いきなりi.j,kが出てくる意味がわかりません。
- Tacosan
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符号を除けば「sin が出てくるほうの式」から出てきます.
お礼
回答ありがとうございます。 出来れば式が欲しかったです・・・。 私にはわかりません・・・。
お礼
回答ありがとうございます。 やっとわかりました。