ベクトルの外積

質問

ベクトルの外積の２次元の計算で

r×(r2-r1)

の計算を考えているのですが
外積の定義を見ていると２次元では考えられないような気がするのですが
この計算はできるのでしょうか？？

誰か詳しい方がいらっしゃればアドバイスお願いします。

回答No.3

noocyte · ベストアンサー

つい最近，ある２次元幾何学に関する質問に対して，２次元の外積を使って
答えるために検索していてたった今ここに漂着しました．

遅い回答なのでもう誰もここを見ていないかもしれませんが，一応コメントします．

普通，ベクトルの外積は３次元で教えられることが多いので，
３次元以外の外積はありえないと考えている人が多いと思いますが，
外積は一般のｎ次元で定義できます．
ただし３次元以外では，ｎ次元ベクトル同士の外積は
Ｎ次元ベクトルではありません．

３次元外積の各成分の定義を思い出せばわかると思いますが，
一つの成分は２つの座標軸に関する成分から計算されます．
例えば外積 C＝A×B の x 成分は，A と B の y および z 成分から計算されます．
(Cx ＝ Ay * Bz - Az * By)
２つの座標軸の組合せに対して外積の１つの成分が決まるので，
ｎ次元の外積には nＣ2 個の独立な成分があります．
３次元の場合は 3Ｃ2＝3 なので，たまたま外積をベクトルとして表現できます．
２次元の場合は 2Ｃ2＝1 なので，たまたま外積をスカラーとして表現できます．

一般のｎ次元では，ベクトル A＝(A1, A2, …, An) と B＝(B1, B2, …, Bn) の
外積 C＝A×B はベクトルでもスカラーでもなく，
次のような行列 (正しくは「２階のテンソル」) になります．

Cij ＝ Ai * Bj - Aj * Bi

ちなみに「ｎ階のテンソル」は，ごく大雑把にいえば「ｎ次元行列」のようなものです．
０階のテンソルがスカラー，１階のテンソルがベクトルです．

↓冒頭に書いた質問に対する答えをまとめたページです．ご参考まで．

参考URL：

http://www5d.biglobe.ne.jp/~noocyte/Programming/2DGeometry.html#RotationDirection

お礼

久々に見たら回答してくださっててびっくりしました。
とてもわかりやすい回答ありがとうございました。

回答No.2

noname#20644

r も r1、r2 もベクトルですね。
そうでないとベクトル積になりませんからね。
r などが二次元のベクトルであった場合、それらは
X軸方向、Y軸方向（デカルト座標の場合）に成分を持っています。
（曲座標の場合は、原点から直線的に遠ざかるr方向、原点を中心に回転するθ方向）

ベクトル積、r×(r2-r1) は、行列式で
|i　　　　　 ,j　　　　 　,　k|
|r_x　　　　 ,r_y　　　　 , 0|
|r2_x-r1_x ,r2_y-r1_y ,　0|
と表わされます。
i、j、k は、X軸、Y軸、Z軸方向の単位ベクトルです（デカルト座標の場合）。
（曲座標の場合は省略）
このように、二次元のベクトルであっても、ベクトル積を考える時には、どうしても三次元空間で扱わざるを得ません。

因みに、上の行列式は、k・[r_x・(r2_y-r1_y)-r_y・(r2_x-r1_x)] で、
ベクトル積、r×(r2-r1) は、
Z軸方向に向いた大きさ r_x・(r2_y-r1_y)-r_y・(r2_x-r1_x) のベクトルとなります。

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます。
すごい参考になりました。

回答No.1

noname#24129

r(rx,ry,0)
r1(r1x,r1y,0)
r2(r2x,r2y,0)
ということではないでしょうか。

補足

回答ありがとうございます。
Z成分を０と仮定して外積の公式を使って計算するって事ですよね？？