1/3 = 0.333・・・ について

質問

1/3 を計算すると、0.333・・・の無限小数になり、絶対に割り切ることはできません。
つまり三倍をして1になる数はこの世に存在しません。

ですから、1/3 ≠ 0.333・・・ であり

1/3 × 3 ≠　1 となるはずです。

しかし、学校の教科書などでは、上記のような表記、計算は当たり前のように為されています。
割り切れもしないのに、イコールで結ぶような詭弁がどうしてまかり通っているのでしょうか？
回答よろしくお願いします。

回答No.16

pokkiri · ベストアンサー

No.15です。

>では、その「3が無限に続く」という明らかな結果を三倍しても
>0.999・・となり1にならないじゃないですか。

「0.999・・=1」です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
上記URLの「教育現場での懐疑」の項目にまさに当てはまる誤解をしておられるようです。

お礼

回答ありがとうございます。
確かに1=0.999・・・でした。
矛盾を見つけようとしたら逆にこの関係を証明してしまいました。
見つけた証明は以下のものです。

(1)1/7 + 1000/7 = 143

1/7 = 0.(142857) 　　(　)の中は循環する数を表してます。

1000/7 = 142.(857142)

(2)1/7 + 1000/7 = 142.999・・・

(1)=(2)より

143 = 142.999・・・

両辺から142を引き

1 = 0.999・・・

回答No.6

Tacosan

「割り切れない」という表現を数学的に定義してください.

お礼

回答ありがとうございます。
余りが0にならないことだと認識しています。

回答No.5

noname#171582

1/3 = 0.333・・・
が割り切れないとか詭弁とか言ってますが
数学を少し勉強すれば、この式が成立することが
わかるのですがね・・・・。

回答No.4

tadys

１／３が無限小数になるのは１０進法で数値を表す時の欠点であって３倍して１になる数が存在しないことの証明では有りません。

１／３を３進数で表すと１／１０＝０．１です。
１０進法で１／３ｘ３を３進数で表すと１／１０ｘ１０＝０．１ｘ１０＝１となって何の問題もありません。

パソコンの中では２進数で計算をしていますので１０進数の１／５は無限小数になり正確に表す事が出来ません。
（パソコンの中では有限の桁しか表現できない）
その為、１．０／５．０ｘ５．０と５．０は等しくなりません。

お礼

回答ありがとうございます。
確かに三進法では1/3が求まりました。
１０進法だけを見ていたため、視野が狭かったです。
三進法に関する回答を下さった皆様のおかげで数というものに
対する理解が深まりました。
ありがとうございます。

回答No.3

neKo_deux

> 絶対に割り切ることはできません。
> つまり三倍をして1になる数はこの世に存在しません。

逆で、

もし割り切れたら、３倍しても１にならない。
割り切れないからこそ、３倍すると１になる。

のでは。

回答No.2

youtom

現代数学では
何かと何かが「＝」で結べるということは、何かと何かのあいだの距離がどこまでも小さくできることである、と考えるわけです。

今回の１と０．９９９９・・・・はどうでしょうか。
０．９９９９・・・は無限に９が続くのですから、
１とのあいだの距離はどこまでも小さくなりますね。

ということで、１＝０．９９９９・・・は成り立つのです。

証明するとしたら

ｘ＝0.99999999・・・・・・
10x＝9.99999999・・・・

10ｘ-ｘ＝9
9x＝9
ｘ＝1

∴1＝0.999999999999・・・・

回答No.1

root_16

1/3 ≠ 0.333・・・という前提にたつなら、
1/3と0.333・・・は別物であり、
1/3 × 3 ＝1ではないという根拠になりませんよ。
なので証明になっておらず、論理展開がおかしい。

10進法の整数で表現できないだけでは？
3進法ならどうなんでしょうね。

お礼

回答ありがとうございます。

1は3で割り切れないのだから、そもそも
1/3という数自体が存在しないです。
仮に存在するのであれば、1は3で割り切れなければなりません。

ですから
1/3 × 3 ≠ 1

であり、そもそも1/3という数は存在しないのですから
1/3 × 3　とイコールで結べる数はないです。
その上、演算もすることができません。