1/3 = 0.333・・・ について

質問

1/3 を計算すると、0.333・・・の無限小数になり、絶対に割り切ることはできません。
つまり三倍をして1になる数はこの世に存在しません。

ですから、1/3 ≠ 0.333・・・ であり

1/3 × 3 ≠　1 となるはずです。

しかし、学校の教科書などでは、上記のような表記、計算は当たり前のように為されています。
割り切れもしないのに、イコールで結ぶような詭弁がどうしてまかり通っているのでしょうか？
回答よろしくお願いします。

回答No.16

pokkiri · ベストアンサー

No.15です。

>では、その「3が無限に続く」という明らかな結果を三倍しても
>0.999・・となり1にならないじゃないですか。

「0.999・・=1」です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
上記URLの「教育現場での懐疑」の項目にまさに当てはまる誤解をしておられるようです。

お礼

回答ありがとうございます。
確かに1=0.999・・・でした。
矛盾を見つけようとしたら逆にこの関係を証明してしまいました。
見つけた証明は以下のものです。

(1)1/7 + 1000/7 = 143

1/7 = 0.(142857) 　　(　)の中は循環する数を表してます。

1000/7 = 142.(857142)

(2)1/7 + 1000/7 = 142.999・・・

(1)=(2)より

143 = 142.999・・・

両辺から142を引き

1 = 0.999・・・

回答No.17

noname#171582

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「3が無限に続く」という明らかな結果を三倍しても
0.999・・となり1にならないじゃないですか
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とスレヌ氏が言うとき、
「アキレスは永久に亀に追いつけない。」・・・・・（１）
と言うパラドックスを思い出す。

0.9+0.09+0.009+0.0009+・・・・・・　　　　　　（２）
はいつまでたっても”１”に到達しない。

このスレヌ氏は多分（１）を信じているものと思われる。

回答No.15

pokkiri

No.10です。

>私は1/3が計算できるからといって、その結果を必ずイコールで結べるとは
>限らないと考えています。
あなたがどう考えてようと、結べます。
というより、イコールで結べないのならそれは、計算結果とは言えません。

>無限小数である以上、計算が終わりません、つまり1/3=0.333・・における右辺は
>計算の途中を表現していることになります。
いいえ、計算途中ではありません。
「3が無限に続く」という明らかな結果が出ており、計算途中であるとは言えません。
「3が無限に続く」ということが、あなたの頭の中で処理できてるか否かは関係ありません。

これまでのあなたの理屈を見る限り、どこにもまともな理論がなく、ただ単にあなたが感覚的に無限小数というものを掴めていないというだけにしか見えません。
あなたの感覚に沿わないからといって、それが数学的に誤っているということではありません。

お礼

回答ありがとうございます。
なんかとんちみたいですね。
では、その「3が無限に続く」という明らかな結果を三倍しても
0.999・・となり1にならないじゃないですか。
三倍して1にならないということは
1/3≠0.333・・であることに他ならないでしょう。

回答No.14

alice_44

1/3 という数が存在するか否かといえば、
1/3 という整数は存在しないが、
1/3 という有理数は存在する
といったところかな。
要するに、何を「数」と呼ぶか次第。

有理数 1/3 が存在する根拠については、
「有理数」の定義を参照のこと。
たいていの代数学のテキストや
ネット上の数学サイトにも出ている。
整数の商を全て集めたものとして
有理数が定義されているのだから、
1/3 の存在は「定義より自明」でしかない。

1/3 という十進有限小数は存在しないので、
その意味では、1÷3 は「割りきれない」。
ただし、十進有限小数を商とする除算は、
割れる・割れない が定義できるだけで
割れない場合の余りは定義できない代物なので、
そんな変なものを扱っているという自覚があれば、
「1÷3 は十進有限小数で割りきれない」と
言ってしまってもよい。

十進有限小数環は、ユークリッド環でない
と言えば、解る人には解る話だけど。

回答No.13

momordica

1/3という数が存在するかどうかですか。
正直、自明のこととしてまじめに考えたこともありませんでしたが、実際に「これが1/3だ」
と示そうとすると、意外と難しいものですね。

３進数で表すことができるから1/3は存在するという回答もあるみたいですが、1/3という数が
存在するから３進数の小数点以下が定義できるわけなので、循環論法のように思います。

ひとつ不思議なのは、質問者さんが、１０進数の有限小数で表せる数の存在に疑問を
感じていらっしゃらないらしいということです。
３進数の小数が、３倍すると１になる1/3という数の存在を前提にしているのと同じように、
１０進数の小数は、１０倍すると１になる1/１０という数の存在を前提として定義されています。
３倍して１になる数の存在が自明でないなら１０倍して１になる数の存在も自明でないと
思うのですが、その辺りについてはどうお考えなのでしょう。
分数1/10が「割り切れて」小数で0.1と表せるから、というのは、1/10という数が存在する
理由になりません。
1/3を３進数表示で表せることがその存在の理由にならないのと同じです。

また、ちょっと話は変わりますが、例えば、ここに一つの石あるとします。
この石の重さ（質量）というものは存在するでしょうか。
デジタル表示の秤にのせて量ると一定の数値を示すでしょうが、その値がこの石の真の重さ
であるとは考えられません。
より精度の高い秤ではかればおそらく誤差があるはずです。
そして、どれだけ精度の高い秤を使ったとしても、その精度が有限桁数である限り、その誤差を
０にすることができるとは考えられません。
つまりは、この石の重さをある現実の単位で量った数値は有限小数で表せる数ではありません。
精度を上げれば限りなくある値（真の重さ）に近づくでしょうが、決してその値そのものには
なりません。
この石の真の重さは、何進数の秤で量っても有限の桁数にならない数、すなわち無理数、
恐らくは超越数であるはずです。
質問者さんの論法でいえば、この石には重さが存在しないことになります。
このような考えに従うと、恐らく、この世にあるあらゆる物には、重さも長さも時間も存在しなく
なるでしょう。

まあ、それも一つの考え方かなとは思うのですが、不便な考え方だと思いますね。
有限小数で表すことのできない実数の存在を想定した方が、いろいろ便利だと思います。
現実世界の量としてそのようなものが存在するかということはともかく、思考の中でそのような
数を想定することには何の問題もないと思うので、数学の世界で1/3という数を認めるのは
妥当なことだと思います。

回答No.12

ricardo_

「1/3 ≠ 0.333・・・」と言う定義は成り立つでしょう。すなわち無限小数を使っても１０進数では表せない。円周率や平方根２などの無理数も同様に、「１０進数の無限小数で表せない」と定義する事は可能でしょう。

　「1/3 ≠ 0.333・・・」と定義すれば、「0.333・・・ × 3 ≠　1 」と言うことです。

　しかし「１／３が存在しない」と言うのとは、別物です。どなたかが３進数で説明していましたね。
　他の多くの方が説明しているように、１／３は存在しています。

回答No.11

k_kota

世の中には「有限小数」では表現できない数がある、ということです。

回答No.10

pokkiri

>1/3 を計算すると、0.333・・・の無限小数になり、絶対に割り切ることはできません。
>つまり三倍をして1になる数はこの世に存在しません。

あなたの理屈は冒頭から破綻しています。
「割り切れない」ということは「存在しない」ということではありません。

>ですから、1/3 ≠ 0.333・・・ であり

>1/3 × 3 ≠　1 となるはずです。

冒頭で御自身で「1/3 を計算すると、0.333・・・の無限小数になり」つまり「1/3 = 0.333・・・」と計算しておきながら、「ですから、1/3 ≠ 0.333・・・ であり」と言うのは矛盾してます。

仮に、「1/3 ≠ 0.333・・・」なら、「1/3 を計算すると、0.333・・・の無限小数になり」というあなたの冒頭の一句は間違いですし、1/3 を計算すると、0.333・・・の無限小数になり」が間違いでないのなら「1/3 = 0.333・・・」です。

お礼

回答ありがとうございます。

＞冒頭で御自身で「1/3 を計算すると、0.333・・・の無限小数になり」つまり「1/3 =
＞0.333・・・」と計算しておきながら、「ですから、1/3 ≠ 0.333・・・ であり」
＞と言うのは矛盾してます。

それはイコールに関する解釈の違いでしょう。
私は1/3が計算できるからといって、その結果を必ずイコールで結べるとは
限らないと考えています。
というのも、1/3のように答えが求まらない場合があるからです。
無限小数である以上、計算が終わりません、つまり1/3=0.333・・における右辺は
計算の途中を表現していることになります。
計算途中の商をイコールで結ぶのはおかしいですよね？
ですから、1/3を計算して、商に無限小数が出てきたからといって
それが1/3とイコールの関係にはならないと考えます。

回答No.9

alice_44

「割りきる」の商を
どんな数の範囲で考えるか次第ですね。
整数除算の意味では、１÷３ は割りきれなくて、
商 ０、あまり １ になるのだけれど、
有理数の除算では、割りきれて、
１÷３ = 1/3 です。
商が十進数で書けるかどうかと
割りきれるかどうかの間には、
何の関係もありません。

回答No.8

iw_steel

1/3は循環数で表記

1/3=0.3・,
(・は3の上)

1/3x3は分数計算 1/3x3/1

詭弁でもないし　まかり通るし

回答No.7

hrsmmhr

書けてるように見えないだけで割りきれる書き方はあります
三進数なら0.1です
教科書でも1/3が無限小数であることを説明する以外は1/3は1/3としか書かないのでは？

お礼

回答ありがとうございます。
三進数なら割り切れました。