熱回路網について

質問

非定常の熱回路網モデルの区切る位置について悩んでいます。
添付画像のAまたはBについてどちらが適当かご教示頂きたくよろしくお願いいたします。
また、基本的なモデルの立て方のサンプル等記載しているサイトや参考文献についてご教示頂ければ幸いです。

回答No.5

el156 · ベストアンサー

仮に十分時間が経った後の定常解を求めるなら、Aのモデルが正確ですが、比熱の影響を表そうとするならAでもBでも近似にしかなりません。熱抵抗と熱容量はある点に対してぶら下がっている訳ではなくて、現実には図の下方向に向かうに連れ少しづつ熱抵抗と熱容量が付いて行くからです。電気回路の場合でも、たとえば電線の特性をLCRを使って回路図で表そうとすると似たようなことになります。電線の特性を表す場合のように厳密には無限個数の回路素子を使って書かなくてはいけない回路を、「分布定数回路」と呼びます。質問者の方がもし電子回路に明るくないのだとするとちょっと説明が難しかったかもしれませんが、この点は理解しておいていただく必要があると思い説明させていただきました。私はABどちらにしても近似が当たり前だと思っていて、その点は質問者の方と意思疎通できていると勝手に考えて回答していましたが、もしかするとこの点に行き違いがあったかも知れません。
近似ですから、もっと現物に似せようとするなら点の数を増します。どんどん増やして行けばAもBも同じになります。どこまで細かくするのかは必要に応じて選べば良い訳ですから、AやBの状態で近似しても構いません。
式が正しいかどうかですが、まずC1が何処に付くのか、Qがどこを流れる熱流か決めないと正誤が判定できません。
Bの場合なら熱容量はT1',T2,T3につけると思います。AならT2,T3だけにつけるか、又はT1,T2,T3,T4につけますが、T4につけた場合、T4が室温ならこの熱容量は効きません。T4から更に熱抵抗を持って室温に落ちるのなら、その熱抵抗も回路に記載しないといけません。この中でどれを採用するかは、難しさと精密さのトレードオフで決めてください。Aの場合熱容量は厚みの違うものを折衷しないといけませんが、Bでも熱抵抗を折衷しなくてはならないので、似たようなものです。
Aのモデルで、C1,C2,C3,C4がT1,T2,T3.T4に付き、QがC1と一番上の熱抵抗とに流れる熱流の合計(=熱源から流れ込む熱流)を意図するなら、式は合っていると思います。

回答No.4

el156

ちょっと変な方向へ進んでいると思います。
折角回路を描いて式を立てるなら、少なくとも回路と式を一致させないと回路を描く意味がありません。
T12を想定するなら、回路も間の点を増やすべきですし、このままの回路で進めるならT12を式に持ち込むべきでは無いと思います。
現実を簡略化して回路や式にするのは構いませんが、その際回路と式を違うようにするのは変です。
些細なことですが、Qは熱量では無く熱流です。式に単位を書いた方が良いと思います。又、「対象に質量の概念が無い」と言う意味が比熱の影響を受けないと言う意味でしたら、熱容量はゼロですから、熱コンダクタンスだけの式になり、その場合、温度は時間に依存しません。

お礼

再度回答たいへんありがとうございます。

>「対象に質量の概念が無い」と言う意味が比熱の影響を受けないと言う意味でしたら
誤解を招く記述だったようですみません。
決して比熱の影響を受けないという意図ではありません。

接点は添付図のBの様に要素の重心に配置するのが、基本と認識しておりますが、
材質が異なるため熱コンダクタンスをBの式のよう折衷するのが大変です。
よって、添付図のAの式で考えたいのですが、Aの場合は接点が要素の重心ではなく
要素と要素の間なので、そこには質量の概念がなくどうしたものかと．．．。

そこで、自分なりに考えた結果、dT1（T1の温度変化）とT1とT2の中間点の温度変化は、
あまり差がないから、「dT1={Q1-L1(T1-T2)}/C1」でも問題ないのではと思いました。

でも、
＞回路と式を一致させないと回路を描く意味がありません。
とのご指摘は確かにその通りです。

一方でBの様な折衷の仕方が正しいのかどうか、いまいち自信もなくどうしていいかわからない状態です。
恐れ入りますが、Aの場合「dT1={Q1-L1(T1-T2)}/C1」を修正したらよいかご教示頂けないでしょうか？
また、Bの場合の式について修正箇所等御指摘頂きたくよろしくお願いします。

回答No.3

el156

上から熱流が流れて来るものとして、No.2での質問にお答えしますと、第二項はこのままだと厚いほど熱流が小さくなってしまいますので修正が必要です。厚い程熱は伝わり易い(少ない温度差でも多くの熱流が流れる)はずです。単位の整合を取ってみてください。
上記修正したものとして、この式のQはひとつの熱抵抗とひとつの熱容量を流れる熱流の合計になります。
No.2の回答では「T2、T3とグランドの間それぞれに熱容量を追加する」としましたが、T1、T4にも片側分の熱容量を持たせる方が正確です。そうしておいて第一項の熱容量を流れる式はT1とグラウンド間に接続された熱容量C1を流れる式だと考えるなら、第一項はOKです。

お礼

重ね重ねご回答頂き大変ありがとうございます。

改めて次の式を前提に考えてみましたが、
誤り等ありましたらお手数ですが御指摘頂きたくよろしくお願いします。
なお、T1部を発熱上部から熱伝導してT4からグランドに落ちることとします。

熱量＝熱容量×温度変化＋熱コンダクタンス×温度変化
　　　　　　　　　　↓
　　　　　Q=C・dT12/dt＋L(T1-T2)

T12:T1とT2の中間温度（要素中心部の温度）
L:熱コンダクタンス
C:熱容量
Q:100W=100V×1A

よって、この式を整理すると

　　　　　dT1/dt={Q-L(T1-T2)}/C

次にこの式を積分すると

　　　　　dT1={Q-L(T1-T2)}/C

以上から添付図の各要素の温度を示す式は、次の通りとなりますが、
問題はC1,C2,C3ですが、対象は質量の概念のない接点部のdT1,dT2,dT3であり、
熱容量を持たない部位であります。
現状ではdT1は温度変化であることから、
T1とT2の中間点の温度変化と近時できると解釈しております。
問題あれば御指摘お願いします。

上層部要素：dT1={Q1-L1(T1-T2)}/C1
　　　　　　 ={100-L1(T1-T2)}/C1

中層部要素：dT2={Q2-L2(T2-T3)-L1(T2-T1)}/C2
　　　　　　 ={L2(T2-T3)-L1(T2-T1)}/C2

下層部要素：dT3={Q3-L3(T3-T4)-L2(T3-T2)}/C3
　　　　　　 ={L3(T3-T4)-L2(T3-T2)}/C3

回答No.2

el156

Q=100Wということですから、Qは熱量ではなくて熱流ですね。熱流(W)は熱量(j)の時間微分(W=J/s)です。これを電気回路の電流(A=c/s)に割り当てることになります。熱量(j)は電荷(c)、温度(K)は電圧(V)、熱抵抗(K/W)は電気抵抗(ohm=V/A)、熱容量(J/K)は静電容量(F=c/V)に割り当てます。もうひとつ、室温をグランド(0V)にします。これで単位間の関係は辻褄が合うでしょうか。まず最初にどこから熱流が流れ込むのかを決めなくてはなりません。T1の点で良いでしょうか。熱容量は熱流が流れ込んで熱量を溜めます。熱容量の原因になるのは比熱(j/gK)です。比熱は1gの物の温度を1K上げるのに何j必要かという意味なので、対象範囲となっているものの重さを掛けます。比熱に密度をかけて体積比熱(?呼び名を知りません)のようなものを出しておいた方が扱い易いと思います。これに対象としている部分の体積を掛ければ熱容量です。熱容量はT1からT2の方向へどれだけ熱流を流すのかに比例して熱を溜めるわけではなくて、周囲温度(=初期温度)を基準にして熱容量自身が熱流を過渡的に引き込んで熱を溜めて行きますので、電気回路ではT2とグランドの間、T3とグランドの間にコンデンサを入れます。本当は固定の電位(熱回路では温度)ならば何処でも構わないのですが、普通グランド(室温)を熱容量の基準端にすると思います。T1とT2の間ではありませんからAの場合にご質問の「折衷」が必要になります。ある程度メッシュを細かく取るならばどちらかに代表させてしまっても構わないと思います。もう一つ、T4の処理を決めなくてはなりません。T4を解放したままですと熱が逃げないので熱流は流れません。何かの熱抵抗を介して室温にグランドされるはずです。もしこの部分の放熱が空冷なら、空冷部分の熱抵抗は風速に依存します。T1の点に接続される熱源も、室温を基準に熱流を発生させると考えます。室温→熱源→T1→T2→T3→T4→室温というループが形成されて初めて熱流を流すことができるようになります。もしT4だけでなくT3やT2の場所からも室温に向かって放熱すると考えられるなら、この部分にも熱抵抗を入れれば良い訳です。じっくり考えてみてください。一気に書き下したので上記に間違いもあるかもしれません。おかしいと思ったらご遠慮なく指摘してください。

お礼

早速のご回答本当にありがとうございます。
現状、まだご指摘頂いた内容をすべて理解できていないのですが、
先にひとつ確認というかご教示頂きたくよろしくお願い致します。

＞Q=100Wということですから、Qは熱量ではなくて熱流ですね。
結果的にAの場合の式については右辺の構成は添付画像のままでよろしいのでしょうか？
もし、変える必要があればどのように変えたらよいかお手数ですがご教示頂けないでしょうか？

回答No.1

el156

非定常との事ですので抵抗の接続点に熱容量を追加しなくてはなりませんが、熱容量は接地に対して追加されるのでAだと2種類の厚みを折衷しなくてはなりません。しかし熱抵抗に関してはBで同じ事が起きているので荒いモデルとしてはどちらでも良いと思います。気になればモデルを細かくして行けば良く、細かくするに従って両者の違いは無くなって行きます。
左下の式は、どちらも変です。T1,T2の式を立てるのならTが登場するのは変ですし、熱量(J)と熱流(W)を混同していませんか？。又、厚みと熱伝導率を使うなら面積も与えないと単位が合わなくなりますし、そういう考え方なら熱容量は比熱×密度と体積(=面積×厚さ)で与える方が良いと思います。1)単位を設定してして整合しているか検証する、2)電気回路と熱回路の対応関係をどこかに書いておく、ことをお勧めします。

お礼

ご回答頂き大変ありがとうございます。

すみませんが御指摘頂いた内容について改めてアドバイス頂きたく宜しくお願いいたします。

＞Aだと2種類の厚みを折衷しなくてはなりません。
Bに関しては素材の異なる厚みを折衷する必要があると思っておりましたが、Aはどことの厚みを考えるとよろしいでしょうか？正直熱容量をどこに持たせるかわからなくて困っているところです。

＞T1,T2の式を立てるのならTが登場するのは変
ご指摘の通りです。
dTは「T1-T1'」と考えておりましたが問題ありますでしょうか。（T'は１ステップ前の温度）

＞熱量(J)と熱流(W)を混同していませんか？
正直自信がありません。混同してます。
当該Qは電熱線からの発熱(100W=100V・1A)を想定しておりますが、問題ありますでしょうか？

以上、たいへん申し訳ありませんが再度ご回答頂ければ幸いです。