RC並列回路（直流）の微分方程式が分かりません

質問

RC並列回路（直流回路）の過渡応答の微分方程式がうまく導くことができません。
初期状態で，電荷Qがコンデンサに蓄えられています。
回路動作のイメージは出来ているのですが・・・。

どなたか，助けていただけませんか？
もうノートが真っ黒です。よろしくお願いします。

回答No.6

noname#154783 · ベストアンサー

とりあえず，ANo.5のaの回路を扱っておきます．
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし，
電源から流出する電流をi，
抵抗を流れる電流をi_R，
コンデンサを流れる電流をi_Cとします．

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが，式が煩雑になるのを避けるため，定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました．

※あと，デルタ関数とかの処理をきっちりするため，積分下端を-∞にしました．

ただし，
v = E u(t). …(4)

(1)，(2)よりi_Rを消去して，
i_C = (1 + r/R)i - v/R.

これを(3)に代入して，
v = r i + (1/C)∫(-∞,t]{(1 + r/R)i - v/R}dt
dv/dt = r di/dt + (1 + r/R)i/C - v/(C R)

∴di/dt + (1 + r/R)i/(C r) = {dv/dt + v/(C R)}/r = (E/r){δ(t) + u(t)/(C R)}.

ただし，初期条件は E = r i(0) より
i(0) = E/r.

これがこの回路の微分方程式です．

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この微分方程式はラグランジュの定数変化法で解くことができて，初期条件を考慮した解は，t > 0 において

i
= (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}
+ E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

したがって，

i_R = E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

i_C = (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}.

コンデンサの両端の電圧は

v_C = R i_R
= E/(1 + r/R) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}]

以上の結果においてr→+0の極限を取ると，その振る舞いはANo.3の解と一致します．

お礼

コメントが遅くなり申し訳ありません。
kz_yさんがにらんだとおり，回路はaのほうです。

単位ステップ関数など見慣れないのですが，
なんとかこちらで努力したいと思います。
本当にありがとうございました。

回答No.5

noname#154783

回路は添付図のaみたいなものでしょうか?
bみたいなものでしょうか?
それとも，どっちでもないのでしょうか?

# ANo.4の補足にある「確かに，Cと直列にRがあります。」という言葉を，その言葉通りに解釈するとbのようになりますが，bだと，コンデンサのある側は単にCR直列回路として応答し，コンデンサのない側は単にオームの法則に従うだけなので，問題として面白くない（内容が豊かじゃない）．なので，私がANo.3に書いたように「電源と並列部分との間に抵抗」というのを回路にした，aのほうじゃないかと私はにらんでるんですけど．

回答No.4

noname#154783

ANo.3には微分方程式についての言及がありませんが，ANo.3に添付した回路だと，こんな風に電源電圧のステップ入力に瞬時に応答してしまうため，微分方程式にならないんです．

# コンデンサに直列な抵抗がないため，時定数が0．したがって，瞬時に応答．

もしかして，電源と並列部分との間に抵抗があったりしませんか?

補足

回答ありがとうございます。
ご指摘の点，確認しましたら・・・ありました。
確かに，Cと直列にRがあります。
並列ばかりに気を取られていたと言いますか，
関係ないかと思っていました。

回答No.3

noname#154783

例によって，スイッチSを閉じた瞬間をt = 0とします．
電池の起電力をEとすると，電圧は
v = E u(t)
と表すことができます（u(t)は単位ステップ関数）．
このvは，もちろん，抵抗の両端の電圧でもあり，またコンデンサの両端の電圧でもあります．

さて，抵抗についてのオームの法則により
v = E u(t) = R i_R.
∴i_R = (E/R)u(t).

また，コンデンサについてのキルヒホフの第2法則により，初期電荷を0とすると，
v = q/C,
すなわち
E u(t) = (1/C)∫[0,t]i_C(t') dt'.

この式の両辺をtで微分すると
E δ(t) = (1/C) i_C
∴i_C = CE δ(t).

電源から流出する電流iは両者の和である：
i = i_R + i_C = (E/R)u(t) + CE δ(t).

つまり，スイッチを閉じた瞬間，非常に大きな電流が一瞬だけ流れ，その一瞬でコンデンサが電圧Eに充電される．また，Rにはスイッチを入れて以降，オームの法則に従う電流E/Rが流れる．

以上のように，あんまり面白くない（内容が豊かじゃない）結果になります．

回答No.2

noname#154783

すみません．RC並列回路でしたか．
「直流回路」を直列回路と読み間違えてしまいました．

# 使い捨てコンタクトレンズを新しい製品に変えてから相性が悪いみたいで，目の調子が悪く，読み間違いやタイプミスが多いです．

> 初期状態で，電荷Qがコンデンサに蓄えられています。

ってところがわかりません．CとRが並列に接続されている場合，Cに電荷を与えてあっても，Rを通じてすぐに放電されてしまいますから，初期条件として考えにくいような気がします．

よろしければどんな回路図なのか教えていただけませんでしょうか．

あと，ANo.1の最初のほうにある

> キルヒホフの第1法則

は間違いで，「キルヒホフの第2法則」が正しいです．
重ね重ねすみません．

補足

コメントありがとうございます。
すいません，こちらも混同していまして，初期電荷はありません。
物理的意味を考えると当たり前ですね・・・。

回路ですが，単純にCとRが並列に接続されており，
それに電源が接続されている回路です。

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#154783

スイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし，時刻t (> 0)におけるキルヒホフの第1法則を考えます．時刻tにおけるコンデンサの電荷をqとし，添付図のオレンジの矢印(電流)に沿って考えると，

起電力は電池Eのみ．

電圧降下は，抵抗によるRi，およびコンデンサによるq/Cです．

※電流の矢印に沿って考えるとコンデンサを正極から負極へとたどることになるから，電圧は下がるはず（つまり電圧降下は正）．で，コンデンサの電圧vと電荷qとの間には
q = Cv
の関係があるから，
v = q/C
となります．

以上より，
E = Ri + q/C

という関係が成り立ちますが，電荷qが増加するということはコンデンサの正極に電流iが図の向きに流入することであり，時刻t = 0におけるコンデンサの電荷がQであれば，時刻tにおけるコンデンサの電荷qは次のように表されます：
q = Q + ∫[0,t]i(t')dt'

積分の部分は時刻t = 0の後に流入した電流によるコンデンサの電荷の増加を表します．

したがって，次の積分方程式が得られます：
E = Ri + (1/C}{Q + ∫[0,t]i(t')dt'}.

この積分方程式は次の初期条件付き微分方程式と等価です：
0 = R di/dt + (1/C)i,
E = Ri(0) + Q/C.

あとは，微分方程式を解いて，一般解は
i = I exp(-t/CR) (Iは任意定数).

このうち，初期条件を満たすのは
i = {(E - Q/C)/R}exp(-t/CR).