変項の概念がよくわかりません！

質問

同じような見映えの質問を以前にもしましたが(内容は違います)また疑問がでてきてしまいました…変項の概念が分からないのです。ある一つの文字による変項にはどんな場合でもある一つの定項しか当てはめられないのですか？

議論領域を自然数として、「xは偶数である」をFx、「xは奇数である」をGxとしたとき、
∃x(Fx∧Gx)これは多分偽と解釈するのでしょうが、

では(∃xFx∧∃xGx)はどうなるのでしょうか。

(∃xFx∧∃xGx)のxとは変項ですが、もしこの変項を定項aとしたら、Fa∧Gaとしなくてはいけないのですか？
それとも(∃xFx∧∃xGx)の変項xを仮にFa∧Gbとしてもよいのですか？

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

以下は、シンタックスな（文法による）説明です。そういう話をお望みではないかも知れませんが、それのセマンティカルな（意味による）読みかえは、可能と思います。

　説明のために、ＦｘをＦ(ｘ)と書き換えます。また、ここで言うところの変項はふつう、束縛変数と言われると思います。量化子∃と、束縛変数である∃ｘのｘの定義の仕方は色々ありますが、ここではτ記号を使った定義がわかりやすいと思います。

　Ａ(ｘ)は、ふつう命題を表します。ｘは変数で、束縛されていません。ｘには何でも入れられますし、ｘの値によってＡ(ｘ)は、真にも偽にもなります。たんに、

　　Ａ(ｘ)

とぽつんと書いたら、「Ａ(ｘ)が成り立つ」という主張だとみなします。つまり、Ａ(ｘ)を仮定した。

　同様にたんに、

　　∃ｘＦ(ｘ)

とぽつんと書いたら、「Ｆ(ｘ)を満たすａが存在する」という主張だとみなせます。これを「Ｆ(ｘ)を満たすａ」を使って、たんに、

　　Ｆ(ａ)

と書いたものだとみなすのが、τ記号による∃ｘの定義です。

　Ｆ(ａ)には記号ｘは含まれません。Ｆ(ｘ)のｘが、Ｆ(ｘ)を満たすような特定の対象ａ（一つとは限らない）で、埋められた形をしているからです。Ｆ(ａ)は、変数を含まない命題だと考えます。それで∃ｘＦ(ｘ)のｘの事を、特定の対象で埋められたｘの意味で、束縛変数と言います。つまり∃ｘＦ(ｘ)は、ｘへの代入操作を行った後の形を問題にしている訳です。

　ここで記号論理の実用面を考えると、けっきょく記号論理は、次のような推論を行うためにあります。

　　Ｆ(ａ)　⇒　Ａ(ｘ)　　　(1)
　　Ａ(ｘ)　⇒　Ｆ(ａ)　　　(2)

　しかし(1)や(2)では、ａとｘの立場が不明確なので、このままでは何の事やらわかりません。また(1)や(2)は、一般的な推論タイプなので、汎用性を持たせたいです。そうすると、「Ｆ(ｘ)を満たすような特定の対象ａ」を表す、一般記号が欲しくなります。それがτ記号で、

　　τ^x(Ｆ(ｘ))

と書きます。^xはふつう下付のxになり、変数として書いたｘではないと定義します。τ^x(Ｆ(ｘ))の意味は、「Ｆ(ｘ)を満たす対象」です。そして、∃ｘＦ(ｘ)とは、

　　(3)関係式（命題）Ｆ(ｘ)に現れる文字ｘを「全て同時に」、τ^x(Ｆ(ｘ))で置き換えたものを、∃ｘＦ(ｘ)と略記する。

となります。「全て同時に」が大事です。つまり、(∃xFx∧∃xGx)は、Fa∧Gbと解釈して正解です。()の使い方が重要だったという訳です（∃x(Fx∧Gx)）。

　ところで、τ^x(Ｆ(ｘ))なのだから、∃ｘＦ(ｘ)には変数ｘが含まれるのではないか？（これがもともとの始まりでした）、となりますが、じつはτ^x(Ｆ(ｘ))の定義は、次のように即物的に徹底しています。

　　(4)関係式（命題）Ｆ(ｘ)の前にτ^xを書き、Ｆ(ｘ)に現れる文字ｘを「全て同時に」、記号□に置き換え、□とτ^xを、引き出し線で結んだ記号列を、τ^x(Ｆ(ｘ))と略記する。

　なので、∃ｘＦ(ｘ)には文字（変数）ｘは、含まれません。

　手順(3)，(4)を忠実に実行すると、とんでもない記号列になります。当然、省略記法∃ｘＦ(ｘ)を使用して、意味を考えながら、「()の順序に注意して」処理します。

　でも、以上のような定義を知っていると、もしかすると迷わないかも知れないと思い、書きました。

お礼

わざわざありがとうございます。
おかげさまで∃xFxの意味が少し分かりました！

議論領域内にFxを満たす定項aがあればτ^x(Ｆ(ｘ))はある意味自動的にFxをみたすような定項としてxを扱ってくれるみたいな感じですかね？…
だから∃xFxは議論領域内にFxを満たす定項aがあれば必ず真という解釈になるんですね！違いますか？…

ただ「()の使い方が重要」と「全て同時に」とおっしゃる意図が若干分かりません。
（∃x(Fx∧Gx)）はFa∧Gbと解釈してはいけないということですか？
「全て同時に」とは∃x()の()内に対してそれぞれτ^x(Ｆ(ｘ))やτ^x(Ｇ(ｘ))を同時に振り当てるということでしょうか？
それとも(∃xFx∧∃xGx)のような場合にそれぞれτ^x(Ｆ(ｘ))やτ^x(Ｇ(ｘ))を同時に振り当てるということですか？
それともそのどちらもでしょうか？

あと(4)はテクニカル過ぎて意味が全然分かりません(笑)これは私の勉強不足ですね。これに関しましては勉強します、としか言えません。

長々とすいません。お暇があればお返事いただけると幸いです。

補足

(4)をもう一度読み直して考えてみました。後半はやはり分かりませんでしたが、前半の部分で「全て同時に」とおっしゃる意図が分かったような気がしまして、私は随分見当違いな事を言っていると思いまして、補足させてください。

全て同時にというのは、Fxが満たされえる定項を∃xFxのxは全て同時に含むということですよね？

度々すみません。