自然演繹法

質問

論理学初心者です。
全称の導入則の証明問題で、
(∀ｘ)(Fx∧(Fx⇒Gｘ)｜（∀ｙ）Gyとあるのですが、
結論は、（∀ｙ）Gｘでなく、（∀ｙ）Gyで問題あっているのでしょうか？この場合、、（∀ｙ）Gｘと（∀ｙ）Gyはどう違うのでしょうか？
たとえば、「だれもが、だれかを愛する。」で、主語をｘ目的語をｙとおいて、区別するのはわかるのですが・・「だれもが、だれかを愛する。」の場合、議論領域を人間として、全称に存在が支配されているので、このばあい、A君がA君を愛するという場合も含まれていると思うのですが、これはあっていますか？変項の理解の仕方がわかりません。
なんか、混乱した記述になりましたが、以上どなたかわかるかた、お願いします。

回答No.3

mis_take

回答(2)の追加です。

数学的帰納法を
P(1)∧∀n(P(n)→P(n+1)) → ∀nP(n)
としないで
P(1)∧∀k(P(k)→P(k+1)) → ∀nP(n)
とした方が，さらに
∀n[P(1)∧∀k(P(k)→P(k+1)) → P(n)]
の方が理解しやすいようです。

論理的にはみな同じですが。

回答No.2

mis_take

補足の文章から推察すると，最初の質問で (∀y)(Gx) と書いてあるのは (∀x)(Gx) の書き間違いですか？
質問の最大ポイントが書き間違っていたことと，下の，「たとえば」以降に書いてあることが，質問とどう関係するのが理解不能で，回答できませんでした。

(∀y)Gy は (∀x)Gx でもいいか？
という質問なら yes です。

同値な冠頭表現に変形するときは
(∃x)(∀y)((Fx∧(Fx→Gx))→Gy)
としなければなりません。
もしかしたら，後のほうで，こういう変形をするための布石かも知れません。

回答No.1

Tacosan

（∀y）Gy と （∀y）Gx は違うもの.
（∀y）Gy と （∀x）Gx は同じもの.
結論は （∀y）Gy であっています.

補足

回答ありがとうございます。ところで、ではなぜわざわざ（∀x）Gxではなくて（∀y）Gy にするのでしょう？ただの趣味の問題なんでしょうか？