数列と極限について悩んでます

質問

レポートでなやんでるのですが、

（１）０と１だけを用いて
（a1+...+an）/nが収束しない数列｛an｝(n=1 to n=∞)を求めよ。

（２）∫e^(-x^2)dx(-∞ to ∞)のガンマ関数を用いないやり方は？

（１）はどれだけ考えても、収束するものしか考え付きません。
（２）は全く思い浮かばないので何かヒントくだされば光栄です。

１つだけでも良いのでわかるかたおられたら教えてください。

回答No.6

noname#111804

I=∫[-∞,o ∞]ｄｘ（exp（－ｘ＾２））
I=∫[-∞,o ∞]ｄｙ（exp（－ｘ＾２））

とやり
I^2＝を計算する。
あとは
極座標変換をやり計算すると答えが求まる。

回答No.5

arrysthmia

＞（１）なのですが、an=0 or an=1だと思います。

それでいいんですね？

＞ ｎ→∞にしたときに「発散」ではなくて、「収束しない」ということはわかってた

「 an=0 or an=1 」であれば、(a1 + a2 + … + an)/n が無限大発散することは
ありえないので、「発散」といえば、ハナから振動しかありません。
因みに、「発散する」≡「収束しない」ですよ。

a1, a2, a3, … と順に見ていくときに、
(a1 + a2 + … + an)/n > 2/3 となったら
次に (a1 + a2 + … + an)/n < 1/3 となるまで 0 が続く、
(a1 + a2 + … + an)/n < 1/3 となったら
次に (a1 + a2 + … + an)/n > 2/3 となるまで 1 が続く
という an を考えることはできるでしょう？

（２）goole 以前に、大概の教科書に載っているんですが…
多変数置換積分の有名な例題です。
http://park17.wakwak.com/~ashida/gaussint.pdf#search='ガウス積分'

回答No.4

info22

#1です。
>（１）０と１だけを用いて
この内容が意味することを、レポートの課題を出した先生に確認しないと、レポートを提出する質問者、ならびにここで回答する者が、仮定で話を進めても、課題を出した先生が求める解答にはならない可能性があります。

>（１）なのですが、an=0 or an=1だと思います。
自分で判断しないで
課題の意図がこの解釈で良いのか先生に確認してください。

anの取りうる数が
■an=0 or an=1なのか？
■1と0の四則演算の表現まで良いのか？
　0,1,1+1,1+1+1, ...
■1と0を並べて出来る多桁の数まで良いのか？
　0,10,100,1000,10000,...
■(-1)^nなどの表現は使って良いのか？べき乗も使えるのか？
など確認してください。

当て外れのことに無駄に時間を費やしても時間の浪費だけです。
まずは、先生に確認されることです。

回答No.3

R_Earl

> ｎ→∞にしたときに「発散」ではなくて、「収束しない」ということはわかってたのですが、あまり思い浮かばなくて。

「無限大に発散」以外の「収束しない」場合として考えられるのは、
「振動する」場合です。

例
bn = (-1)^n
bn = sin(nπ/6)

{ (a1+...+an) / n }は「a1 ～ anの平均値」です。
なので、平均値が振動するようにすれば良いんです。
例えば「平均値が1/4と3/4の間を行き来する」等が考えられます。

回答No.2

R_Earl

> （１）０と１だけを用いて
> （a1+...+an）/nが収束しない数列｛an｝(n=1 to n=∞)を求めよ。

「0と1だけを用いて」とはどういう意味ですか？
例えばan = 1010001のようなものはOKなのでしょうか？
それとも「全ての自然数nに対して、an = 0 または an = 1」なのでしょうか？

> （１）はどれだけ考えても、収束するものしか考え付きません。

「全ての自然数nに対して、an = 0 または an = 1」であるという前提で話を進めます。
anの最大値が1なら、（a1+...+an）/nの最大値も1になります。
よってn → ∞で{ (a1+...+an) / n} → ∞となるanは
存在しないと思います。

しかし、「収束しないということ」は
「無限大に発散するということ」ではありません。
もう1つ「収束しない」場合がありますよね。
そちらの方を考えてみてはどうでしょうか。

> （２）∫e^(-x^2)dx(-∞ to ∞)のガンマ関数を用いないやり方は？
> （２）は全く思い浮かばないので何かヒントくだされば光栄です。

e^(-x^2)は『ガウス関数』と呼ばれる、割と有名な関数です。
なのでGoogle等で『ガウス関数』あるいは『ガウス積分』という
キーワードで検索すれば、答えが見つかると思います。

お礼

回答ありがとうございます。

（１）なのですが、an=0 or an=1だと思います。
ｎ→∞にしたときに「発散」ではなくて、「収束しない」ということはわかってたのですが、あまり思い浮かばなくて。

（２）はがんばって探してみます。

回答No.1

info22

レポートの課題の丸投げは、このサイトでは禁止事項です（削除対象）。

自助努力の何らかの解答を補足に書いた上で質問して下さい。
何も分からず自力解答が作れないならあきらめて下さい。

ヒント）
(1)和がn^2以上の増加の項を含む数列を考えてください。
(2)この積分はネット上にそのまま解答が載っていますので検索してみてください。その位調べられるでしょう！

丸投げ質問に丸解答することも禁止事項になっていますので
あしからず。正誤にかかわらず、自力解答を補足にに書いて下さい。