倒立振子の運動方程式

質問

図に示した倒立振子の運動方程式を導出の仕方含め教えていただきたいです。
二足歩行するロボットの脚をモデル化したもので、
入力は支点周りのトルクτと、脚を伸縮させる蹴り力fです。

検索して調べると、
トルクτをゼロとして計算を進める形は見つかるのですが、
トルクτを考慮して運動方程式を立てるとするとどうなるのかがわかりません。
お教えいただけると助かります。よろしくお願いします。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

えーと、ラグランジアンは

v = dr/dt, ω=dθ/dt
とすると

L = (1/2)Mω^2 + (1/2)Mr^2ω^2 -Mrg cosθ

d/dt(∂L/∂v) - ∂L/∂r = M dr^2/dt^2 - mrω^2 + Mg cosθ = f
d/dt(∂L/∂θ) - ∂L/∂θ = M dθ^2/dt^2 - Mgr sinθ = τ

となります。で r と θ に対応する外力が、何故 f と τ
になるかというあたりは、解析力学の本を読んでみてください。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

肝心のラグランジアンを写し間違えました。

L = (1/2)Mv^2 + (1/2)Mr^2ω^2 -Mrg cosθ

後は合ってます(多分 (^^;)。

お礼

お返事が遅れてしまいすみません、
昨日おすすめして頂いた解析力学の参考書を図書館で借りてきました。
早速本と問題とにらめっこして見直しています。
本当に助かります。ありがとうございます。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

解析力学を学べば、ラグランジュの運動方程式を
機械的につくれるようになります。

外力をきちんと扱えるように教えてくれる
教科書を選ぶと良いと思います。
＃量子力学に進むことを前提にした本は
＃外力の扱いが弱いので不可。

おすすめへ

解析力学 大貫 義郎 岩波書店

です。

お礼

ありがとうございます。ラグランジュの運動方程式ですか…。
まずは運動エネルギーKとポテンシャルエネルギーPからラグランジアンLを求めるのですよね。
色々例題を探しながら考えている所なのですが、PはMgrcosθになりますか？
Kがいまひとつ分からないのです…トルクと蹴り力をここで示すのでしょうか。
引き続き回答頂けると助かります。
参考書の方も探してきます。