対称式がわからない

質問

高校の宿題で

a=1-√3/1+√3　b＝1+√3/1√3　のとき、次の値を求めよ

a⁵+a³b²+a²b³+b⁵
(a5乗+a3乗b2乗+a2乗b3乗+b5乗)

という問題が出たのですがわかりません
どなたか途中式を含めて回答お願いします。

ちなみに　/　は分数という意味で、
1/3だと　三分の一　です。

回答No.3

springside · ベストアンサー

この手の問題は、まず、a+bとabを作って、値を求めたい式をa+bとabで
表すようにします。

a=(1-√3)/(1+√3)
=(1-√3)^2/(1-3)　←分母の有理化
=-2+√3

b=(1+√3)/(1-√3)
=(1+√3)^2/(1-3)　←分母の有理化
=-2-√3

よって、a+b=-4、ab=1

a^5+a^3b^2+a^2b^3+b^5
=a^3(a^2+b^2)+b^3(a^2+b^2)
=(a^3+b^3)(a^2+b^2)

ここで、
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
=16-2=14

a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2
=(a+b)^3-3ab(a+b)
=-64-3・1・(-4)
=-52

よって、与式=(-52)・14=-728

お礼

回答ありがとうございます。

とても詳しい回答でわかりやすかったです。

今後もこのことを頭に入れてやっていきます。

回答No.5

nattocurry

あぁ・・・因数分解できた・・・

ab=1

a+b={(1-√3)(1-√3)+(1+√3)(1+√3)}/{(1+√3)(1-√3)}={(4-2√3)+(4+2√3)}/(-2)=-4

aa+bb=aa+2ab+bb-2ab=(a+b)(a+b)-2ab=(-4)×(-4)-2×1=16-2=14

aaaaa+aaabb+aabbb+bbbbb
=aaaaa+aabbb+aaabb+bbbbb
=aa(aaa+bbb)+bb(aaa+bbb)
=(aa+bb)(aaa+bbb)
=(aa+bb){(a+b)(aa-ab+bb)}
=(aa+bb){(a+b)(aa+bb-ab)}
=14×{-4×(14-1)}
=14×(-52)
=-728

お礼

回答ありがとうございます。

nattocurryさんの解き方は
他の方と少し違うようですので、
こちらも参考にさせていただきます。

回答No.4

nattocurry

どこまでが分子でどこまでが分母なのかが判るように、（）で括りましょう。

あと、数学の問題は、誤字脱字の内容にしましょう。1文字違うだけで答えが変わります。

a=(1-√3)/(1+√3)、b=(1+√3)/(1-√3)　で良いですか？

ab=1

a+b={(1-√3)(1-√3)+(1+√3)(1+√3)}/{(1+√3)(1-√3)}={(4-2√3)+(4+2√3)}/(-2)=-4

aa+bb=aa+2ab+bb-2ab=(a+b)(a+b)-2ab=(-4)×(-4)-2×1=16-2=14

aの5乗を、aaaaaと書くことにします。

aaaaa+aaabb+aabbb+bbbbb
=aaaaa+bbbbb+aaabb+aabbb
=aaaaa+bbbbb+aabb(a+b)
=aaaaa+bbbbb+abab(a+b)
=aaaaa+bbbbb+1×1×(-4)
=aaaaa+bbbbb-4
=(a+b)(aaaa-aaab+aabb-abbb+bbbb)-4
=(a+b)(aaaa+bbbb-ab(aa+bb)+aabb)-4
=-4(aaaa+bbbb-1×14+1×1)-4
=-4(aaaa+bbbb-13)-4
=-4((aa+bb)(aa+bb)-2aabb-13)-4
=-4(14×14-2×1×1-13)-4
=-4(196-2-13)-4
=-4×181-4
=-4×182
=-728

お礼

すいません
気をつけます。

こちらの回答も参考にさせていただきます

回答ありがとうございました。

回答No.2

3cmp66p2

b＝1+√3/1√3
の部分、もう一度問題文を確認してみていただけますか？

お礼

はい

この部分は
a=(1-√3)/(1+√3),　b＝(1+√3)/(1-√3)
の間違えでした
すいません。

回答No.1

eeb33585

a⁵+a³b²+a²b³+b⁵
は、因数分解して
a^3(a^2+b^2)+b^3(a^2+b^2)
=(a^3+b^3)(a^2+b^2)
=((a+b)^3-3ab(a+b))((a+b)^2-2ab)
ここまで変形したら
a=1-√3/1+√3　b＝1+√3/1√3
を代入して計算する
ところで、これは
a=(1-√3)/(1+√3),　b＝(1+√3)/(1-√3)
の書き間違えでは？

お礼

回答ありがとうございます。

おかげでよく理解できました。

すいません
書き間違えました
今後気をつけます。

ありがとうございました。