材料力学：熱膨張によるひずみの計算に関して

質問

先に投稿した質問と似ているのですが・・・

熱応力を扱う際に、ひずみをどのように計算すれば良いかについて悩んでいます。
次の３つのひずみの違いをご教授いただけないでしょうか？

＜部材（丸棒など）の両端を固定して温めたり、
温めた部材を圧縮する時に部材に生じるひずみについて考えます。
部材は、もとの長さがa0で、
自由に熱膨張できる（両端が自由）場合、
ΔTだけ温度が上昇すると長さがa1になるとします。＞

(1)　この部材の両端を固定して、ΔTだけ温度を上昇させた際に
部材に生じるひずみ。
（教科書には、このとき部材に生じるひずみεは、
ε=(a1-a0)/a0
と記されています。）

(2)　温度をΔTだけ上昇させ、部材の長さがa1になった後、
部材を長さがa0になるまで圧縮した時に部材に生じるひずみ。

(3)　(1)および(2)の場合とまったく同じ材料で、長さがa1の部材を、
温度は変化させずに、長さがa0になるまで圧縮した時に生じるひずみ。
（このときのひずみはε=(a0-a1)/a1でしょう。）

僕には、(1)と(2)は本質的に同じであるように見えます。
また、(2)と(3)も同じであるように見えます。
とすると、(1)と(3)も同じということになって矛盾が生じてしまいます。

どこを間違って、矛盾が生じたのでしょうか。
しつこく同じようなことを質問してしまい大変恐縮ですが・・・
解説何卒よろしくお願いいたしますm(_ _)m

回答No.1

do_ra_ne_ko · ベストアンサー

熱膨張の拘束は不可能です。

（１）熱膨張でa0の長さのものがa1まで膨張するとすれば、この膨張の拘束は不可能です。
従って必ずa1まで伸びてしまいます。

両端固定というのは、このa1まで伸びてしまったものを圧縮力を加えてa0まで縮めると考えます。
非常に大きな圧縮力が必要になりますが圧縮なら可能です。
だから、単にa1の長さのものをa0まで圧縮したときの歪みを計算します。　
そうすると分母は元の長さa1とすべきでしょうが、実質的にa0≒a1ですのでどちらを使っても計算結果は実質的に同じです。

そういうことですから、（１）＝（２）＝（３）なのです。

お礼

お返事が遅れてしまい申し訳ありませんでした。
大変丁寧なご回答、どうもありがとうございました。
a0≒a1
であるとしているために、一見(1)≠(2)=(3)
だったのですね。
大変参考になりました。今後もよろしくお願いいたします。