質量の偏りによる運動の違い

質問

同じ質量の物体でも、質量が中心に集まっている物と、中心が空洞で外側に質量がある物（タイヤに例えると、外側のゴムの部分に重量があるような状態。なので重心はこちらも中心にある。）では転がる速度が違うと知りましたが、なぜでしょうか。

また別の質問として、中身が固定されている通常の物体と、物体の中が空回りしているものでも速度が違いますが、これらの原理を説明していただきたいです。

2つ目の質問は、空回りしているほうは、その部分が回転しないのでそこで運動エネルギーが発生しないとかなんとか・・・だったような記憶ですが。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

「力のモーメント」っていう言葉を聞いたことありませんか？
「トルク」とか「てこの原理」とも呼ばれます。
シーソー遊びをするとき、体重のある人がなるべく支点から遠いところに座ると、反対側にいる敵に勝ちやすくなります。

力のモーメント　＝　座った人の質量　×　座った場所と支点との距離
しゃれた記号を使えば、
Ｍ　＝　ｍｒ

乗る人が２人以上（ｎ人）いるときは、それぞれの人の質量と位置をそれぞれ ｍ1、ｍ2、ｍ3・・・、ｒ1、ｒ2、ｒ3・・・と記号をつければよく、
Ｍ　＝　Σ[k=1⇒n] ｍk・ｒk

しかし、「力のモーメント」は力のかかり具合を表すものなので、回転する物体の回転させにくさを表すのには不適です。
「回転させにくさ」を表す指標は、「慣性モーメント」と呼ばれます。
「慣性モーメント」の概念については、ここに書くには長すぎますので、ほかで調べてください。
慣性モーメントＩは、
Ｉ　＝　Σ[k=1⇒n] ｍk・ｒk^2
です。
支点からの距離が２乗になっているところが味噌です。

以上を踏まえまして、ご質問について。

＞＞＞
同じ質量の物体でも、質量が中心に集まっている物と、中心が空洞で外側に質量がある物（タイヤに例えると、外側のゴムの部分に重量があるような状態。なので重心はこちらも中心にある。）では転がる速度が違うと知りましたが、なぜでしょうか。

慣性モーメント（回らせにくさ）は支点（中心）からの距離の２乗に比例するからです。

＞＞＞また別の質問として、中身が固定されている通常の物体と、物体の中が空回りしているものでも速度が違いますが、これらの原理を説明していただきたいです。
2つ目の質問は、空回りしているほうは、その部分が回転しないのでそこで運動エネルギーが発生しないとかなんとか・・・だったような記憶ですが。

慣性モーメントは回転する部分のみに適用されるので、回転しない部分は回転運動の計算の対象外になるからです。

お礼

ありがとうございます。

一般に運動エネルギーについては、hの高さの坂から、質量ｍの物体をすべり落とす場合、

ｍｇｈ＝1/2・ｍV＾2

という式で定義されていますよね。
この場合、単純に物体が坂をすべり落ちてくることのみを考えています。
しかし、この物体が円柱形の物体で転がる場合、その回転の運動エネルギーを考慮に入れると、

ｍｇｈ＝1/2・mv^2+1/2・Iω^2　　　（慣性モーメント=I、角速度=ω）

ということになるのでしょうか。

ゆえに、回転の運動エネルギーが発生しているためにV＞vとなる、という理解でよいのでしょうか。

さらに、Iは質量分布により大きさがかわるので、それによってｖの大きさも違う。
回転しない部分は回転の運動エネルギーが発生しないので、その分ｖが大きくなる。

ということでしょうか。

回答No.3

sanori

Ｎｏ．１の回答者です。
随分と勉強されたようで、すごく進歩されていますね。

＞＞＞
一般に運動エネルギーについては、hの高さの坂から、質量ｍの物体をすべり落とす場合、
ｍｇｈ＝1/2・ｍV＾2
という式で定義されていますよね。

いえ。その式は、位置エネルギーと運動エネルギーが互いに他に変換できることを表している式です。
正しくは、
力学的エネルギー（の合計）　＝　ｍｇｈ　＋　１／２・ｍＶ^2
です。

＞＞＞
しかし、この物体が円柱形の物体で転がる場合、その回転の運動エネルギーを考慮に入れると、
ｍｇｈ＝1/2・mv^2+1/2・Iω^2　　　（慣性モーメント=I、角速度=ω）
ということになるのでしょうか。

これも正しくは、
力学的エネルギー（の合計）　＝　ｍｇｈ　＋　１／２・ｍｖ^2　＋　１／２・Ｉω^2
です。

＞＞＞ゆえに、回転の運動エネルギーが発生しているためにV＞vとなる、という理解でよいのでしょうか。

そのとおりです。

＞＞＞
さらに、Iは質量分布により大きさがかわるので、それによってｖの大きさも違う。
回転しない部分は回転の運動エネルギーが発生しないので、その分ｖが大きくなる。
ということでしょうか。

そのとおりです。

なお、前回回答で、
回転させにくさ　＝　慣性モーメント
のように書きましたが、慣性モーメントは回転の減速しにくさでもあります。
この点で、Ｉは、直線運動におけるｍ（質量）と似た考え方になります。

お礼

ありがとうございます。

そうでした、
運動前と運動後でのエネルギー保存の式の意味で書きたかったのですが、途中をはしょってしまいました。

正しくは

ｍｇｈ＋1/2・ｍV＾2＝ｍｇH＋1/2・ｍV＾2

で、その上で、高さｈ地点での速度＝0、最下点での高さ＝0ということを述べておかないといけませんでしたね。

おかげ様で、慣性モーメントというヒントから試行錯誤をし、答えを出すことができました。

正解にたどりつけたようで、大変満足です！

回答No.2

htms42

＞中身が固定されている通常の物体と、物体の中が空回りしているものでも速度が違いますが、これらの原理を説明していただきたいです。

場面設定が不十分です。
どちらもいろんな速度で運動させることができます。
おなじ速度の運動も可能です。

どういう場合に速度に違いが出るのかを具体的に書いていただかないと答えようがありません。
これだけでは物理的な考察の対象にはならないのです。

お礼

これは本からの引用なのですが、直径と質量は同じですが、一方は中がつまっていて、もう一方は中空になっている異なる2つの物体で、これらの物体が坂を転がったりするときに、最下点までの到着時間が違うというものです。

後者の条件は、たとえば中身の入ったジュースの缶（質量が缶と共に回転しない）と、同じ形状と質量だか中身が固定されているもの、との比較です。