水位差があるとき同水位となる時間

質問

完全には仕切られていないが敷居で仕切られている水槽に入ってある高さがｈの水位差があるときの同水位となる時間の求め方を教えてください。

回答No.1

fumi0067

水位の持つ位置エネルギーは時間とともに水流の運動エネルギーに変換され，他方の水位を押し上げて…を繰り返し水位は単振動します。
最初に同水位になる時間なら求められるかもしれませんが、次の瞬間には水位は変わっています。
ただし現実には水位の持つ位置エネルギーは水を撹拌するのに消費され、熱に変換されるので水位は減衰振動になります。減衰の度合いまでは条件が少なすぎてわかりません。

最初に同水位になる時間なら求められるかもしれませんと書きましたが、いずれにしても条件が少なすぎると思います。そこで勝手にいくつか仮定しますが、減衰はしないとして、水位が高い方の部屋の断面積をS、水の全体積をV、重力加速度をg、水の密度をρとおきます。また水位差をxとおきます。最初の瞬間はx=hです。
水位差がxのとき、水位差による位置エネルギー
　U=1/2 × ρgSx^2
です。位置エネルギーをxで微分すると力になります（高校物理では扱われていませんが）ので、水位差を下げようとする力は
　f=dU/dt=ρgSx
となります。ここまでくればバネの単振動
　f=kx
　f=ma
と同じで
　f=ρgSx
　f=ρVa
です。
水位xは
　x=Acos(√(gS/V)*t + φ)
と求められ、t=0のとき水位差は最大となりx=hなので
　φ=0
　A=h
より
　x=±hcos(√(gS/V)*t)
です。最初にx=0となるのは
　√(gS/V)*t=π/2
のとき、即ち
　t=π/2 * √(V/gS)
です。
計算合ってますよね…？（笑）
お求めの解答がこのようなものかはわかりませんが。