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穴の開いた空のタンクへ水を入れた時の水位高さ
- 底面に穴の開いた空のタンクへ水を入れた時、水位高さがどうなるか教えて下さい。
- 底面積120cm2、高さ2.5cmの空のタンク（容積300cm3つまり0.3L）とこのタンク底面に直径6mmの穴が開いている（断面積0.283cm2）で、環境は全て大気圧、損失等は無視する。
- タンクの水位は何cmの時に一定になるのでしょうか？また、水の入れ始めからの経過時間は何sec後に一定になるのでしょうか？
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- yokkun831
- ベストアンサー率74% (674/908)
排水抵抗はないものとします。 給水量：Q = 1L/min = 10^-3/60 m^3/s 排水口半径：r = 3mm = 3×10^-3 m 排水口面積：A = πr^2 タンク底面積：S = 120cm^2 = 120×10^-4 m^2 時間 t の後の水位を y(t)，体積を V(t) = Sy(t) とすると dV/dt = Q - A√(2gy) 水位が一定の定常状態では，dV/dt = S dy/dt = 0 ですから 定常水位を y_t とおくと， 0 = Q - A√(2gy_t) ∴y_t = Q^2/(2gA^2) = 0.0177 [m] = 1.77 [cm] V = Sy を考慮すると上の微分方程式は S/{ A√(2g) } dy/dt = √y_t - √y となります。 y が連続的に y_t に近づくと，水位変化率 dy/dt は連続的に 0 に近づきます。 したがって，水位がy_t になるためには，理論上無限大の時間が必要だと思います。 実際，上の微分方程式を解こうとすると，原始関数t(y)は求まるものの y=0からy=y_tまでの定積分は無限大に発散します。 下記が参考になるかもしれません。 http://csspcat8.ses.usp.ac.jp/ses/kyouin/shakei/gallery/mode0005.pdf
補足
yokkun831様 御教授有難うございます。 すみません、当方全くど素人で簡単な微積分すらままなりません。できましたら、具体的数値を書いて教えていただければありがたいのですが（やってみましたが、やはりできませんでした）。 教えていただいたにも関わらず不躾なお願いですみません。
- masics
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タンクの底面積をS，タンクの底の穴をSoとする． 水面の高さxのときの穴から出ていく流体の速度をvとするとベルヌーイの定理より ρgx=1/2 ρv^2 つまり v=√（2gx） とわかる．任意の高さでの流速がわかったので次に体積の時間変化について考えます．ある時刻でのタンクの中の体積をQ(t)とすると， dQ(t)/dt=Qo-So=√（2gx） であり，Q(t)=xSより dQ(t)/dt=Qo-So=√（2gQ(t)/S） となります．これは変数分離型の微分方程式なので一般解がわかり，ほしい量はすべてわかります．
お礼
色々調査し、なんとか理解できました。 有難うございました。
補足
masics様 御教授有難うございます。 上記回答にも補足で書きましたが、当方全くど素人で簡単な微積分すらままなりません。できましたら、具体的数値を書いて教えていただければありがたいのですが（教えていただいた内容で計算やってみましたが、やはりできませんでした）。 教えていただいたにも関わらず不躾なお願いですみません。
1.77cmについて検算はしていませんが、タンクの最初の水位は、最終的に安定する水位とは無関係です。 安定水位より、初期の水位が高ければ安定時より流出が多くなり、水位は下がって行きます。初期の水位が低い（0を含む）なら安定時より流出が少なくなり、水位は上がって行きます。これは、タンク底にかかる水圧を考えれば、穴から出て行く水量の増減で分かると思います。 結局、最初のタンク水位に関係なく、安定する水位は決まります。
補足
cozycube1様 早速の御回答ありがとうございます。水位の高低と水頭圧の関係から、結局は水位がある所で安定すると考えればよいという事でしょうか。 あと、安定水位になるまでの時間の計算方法があれば御教授いただきたいのですが。
お礼
色々調査し、なんとか理解できました。 有難うございました。