数学（証明問題）の指導

質問

塾で小中学生の指導をしています。
証明問題を分かり易く指導する、解くコツで良い手立てがあればご教示願いたい

回答No.1

aminouchi · ベストアンサー

小中学生での証明問題は「筋道をたてて説明する」ことが目的です。
高校入試などで難しい問題がだされることがありますが、それ以前に
きちんと指導すべきことは
1.その問題の仮定・結論をきちんと書けるようにすることです。
2.そして、証明ではそのときまでに判っていてその証明に使ってよい
条件（公理・定義・定理、その問題の条件）は何かをしっかりつかま
せることです。
たいていの生徒はこの仮定・結論と定理の3つがごちゃごちゃであい
まいなために証明がかけません。

次に入試問題などでは、今度は教科書に載っている定理はすべて使
って良いことになります。この場合でも、問題をしっかりと読ませて
題意を仮定として書けるように指導して下さい。そして、証明の中で
使ってない仮定がないかどうかをチェックさせてください。良い問題
では仮定（問題での条件）を過不足なく使って始めて証明できるよう
になっているはずです。

くりかえしになりますが、まとめると
1.筋道をたてて説明するのが目的であると教える。
2.その問題の仮定・結論をきちんと把握させる。
3.仮定をすべて使っているかを確認させる。
以上

回答No.3

Naka

◆Naka◆
私は、いわゆる「証明のスタイル」は後回しにする方法を取っています。
例えば三角形の合同の証明を教えるとしましょう。
私「どれとどれが合同なんだろう？？」
生「これとこれ！」
私「うん、確かに合同に見えるけど、本当に合同だと言っちゃっていいのかな？」
生「いいと思うよ。」
私「思うだけじゃダメだろう。例えばどこが等しい？」
生「この辺。」
私「なるほど。どうしてこの辺とこの辺は等しいんだ？」
生「だって、等しいって書いてあるじゃん。」
私「そうだな。それだけで、この２つの三角形は合同だって言っていいかな？」
生「それだけじゃダメだよね？」
私「だよな。じゃあ、他にはどこが等しい？」
生「この角は？」
私「この角とどの角？」
生「これ」
私「それは対応してないだろう？」
生「なんで？」
私「だって、この辺がこれになるんだろ？だったら、この角はこれに対応してるんじゃないのか？」
生「あ、そうか。じゃあ、これ。」
私「それはなぜ等しいんだ？」
生「え～と、何かあったじゃん。」
私「何かって？？」

（中略）

私「つまり、この辺と、この角と、この角が等しいってことだね？」
生「そう！」
私「これで合同って言っていいのかな？」
生「うん！」
私「何て言う合同条件だ？」
生「う～ん…、１辺と２角…」
私「そんなの聞いたことないぞ。」
生「でもいいんでしょう？」
私「１辺と２角かぁ？？じゃあ例えばこれとこれは合同か？？」
生「全然違う。」
私「だろう？ちゃんと見てごらん。」
生「ええと、『１辺とその両端の角』だ。」
私「そうだな。で、これはそれになってるのかな？」
生「うん、なってる。」
私「どれが、その『１辺』？」
生「これとこれ。」
私「うん、『両端』っていうのは？」
生「これとこれ。」
私「確かに両端になってるな。じゃあ、合同だ！」
生「うん！」
私「それを、読んだ人がわかるように書くにはどうしたらいい？？」

（以下略）

このように、対話形式でサポートしながら、「証明の意味」を自分で体得させていくのがねらいです。
証明のスタイルは後からマスターさせていくのが、生徒にとっても楽だと思いますよ。
時間は少々かかりますが、最初にこうやってツボをつかませてしまえば、その後の応用問題にもすんなり入っていけるはずです。
あとは、一度体得した「センス」を忘れないうちに、問題数をこなすことでしょうね。

ご参考までに。

回答No.2

nozomi500

塾に来る子のレベルにもよるのですが、私が教えた子は、とくにこういうことが苦手でした。aminouchiさんのいわれるように、何が結論で何が仮定で、ということが整理できないのですね。
　三角形の合同の証明でも「にへんきょうかくそうとう」など熟語で覚えているだけで（漢字だけは、「書き取り練習」で覚えるらしいけど）、どの辺とどの辺が相当で、ということを考えない。

　あと、日本語がひどい。「○○だから、××だから、△△だから、□□だから、ニヘンキョウカクソウトウだから、合同である」わかっていなくて並べている場合も多いのですが、解っているらしいのだけれど、文章としてなっていないこともあります。

　テストのためにやっても、面白くなければ身につきません。私などは、「計算」に自信がなかったものだから、こういうのは好きでしたが、逆に計算上手な子ほど、こういう回りくどい（？）ことをいやがります。中途半端に計算ができる子は、テストでも、計算が気になってしまいます。しっかり計算できる子は、計算はもうばっちりだから、完璧をめざすために証明などもやりますが。

　ただ、テストのためでなく、そもそも数学とは何か、ということになれば、筋道だてて考えること、なのですから、ここで頑張ることがグンと成長する場でもあります。場合によっては屁理屈の落とし穴をみつける練習だといって、アキレスと亀とか、マーフィーの法則とか、まじめに論議したり。

　個別の問題では、まず「○○を証明するには、何が条件になるか」を出して「作戦会議」をはじめます。与えられた条件は赤でマークし、導く結論は青でマーク。その間にわかったことは黄でマーク。最終的なつめ（２辺、挟角）は黄の上から緑でマーク。コナンが犯人を追い詰めるつもりで結論につなげる。こんなもんでした。