三角形の証明問題

質問

三角形の性質：「１辺の長さは、他の２辺の和より短く、差より長い」証明せよ。

この問題の解答をご教示頂けたらと思います。
色々考えたのですが、まったく分かりませんでした。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

余弦定理を使ったらどうでしょうか?

c = √(a^2 + b^2 - 2ab cos C)

であり，三角形が成立しているなら a, b > 0，0°< C < 180°だから，

c > √(a^2 + b^2 - 2ab) = |a - b|,
c < √(a^2 + b^2 + 2ab) = a + b.

∴|a - b| < c < a + b.

お礼

ご回答ありがとうございます。とても助かりました。

回答No.3

alice_44

←No.2

要するに、ユークリッドの距離が「距離」の一つである
ことを示せばよいのだから、
4) の立場でも、1) の立場でも、やることはほぼ同じ。
循環はしないと思うよ。

お礼

補足ありがとうございます。

回答No.2

funoe

このカテゴリの優秀な回答者さん達でも、ご質問の背景がわからないと答えられないと考えます。

学校の課題なのでしたら、学年や科目、どの単元での課題なのかを補足したほうが良いと思います。

冷たいようですが、もっとも適切な回答は、「長さ（距離）というものはそのように定義されているから」なんですが、それをいっては身も蓋もないので、背景が補足されれば適切な回答がつくかもしれませんね。

1)たとえば、中学3年位で三平方の定理を習ったくらいの頃
　この場合は、出題者の見識不足の懸念がありますが、形式的には三平方の定理から導けたかのように示せます。しかし本質は循環論法になっていると思われます。つまりちゃんとした証明はできてないでしょう。

2)たとえば、中学2年くらいで三角形の合同とか習ったくらいの頃
　条件を満たさないと「作図できない」ことを示すのでしょうが、それを「証明」と呼ぶのは憚られます。

3)座標とかグラフとか習う頃？
　本質的に、2点間の距離の公式を使って示せという趣旨なのでしょうが、つきつめれば
「距離ｄ＝√（x^2+y^2)は三角不等式を満たすように定義されているから」
というつまらない言明になります。

4)大学の位相空間とかでの課題の場合
　与えられている「長さの定義」が、三角不等式含め距離の公理を満たすことを示すのかぁ？

お礼

申し訳ございません。次回から気をつけます。