数学について回答お願いします。

質問

次の問題の証明をよろしくお願いします。

(1)｛Σanbn｝'2≦Σan'2Σbn'2

シグマはすべてn=1～mまでです。

(2)X以下の素数の個数はloglogXより大きい

一応高校生でも解けると言われましたが大学でやってる問題です。(-.-;)

検索ワード
数列シグマΣ実数素数loganbn不等式証明線形代数
微分積分一般位相確率論

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

(1)は「コーシーの不等式」で検索すれば証明は調べられる・・・！

(2)
p[n]を素数を表すものとする。p[1]=2,p[2]=3,p[3]=5,p[4]=7・・・
n=1,2,・・・,Nに関して
p[n]＜2^(2^n)なる不等式が成り立つとすればユークリッドの論法から
p[N+1]≦(p[1]・p[2]・・・p[N]) + 1＜2^2+2^(2^2)+2^(2^3)+・・・＝2^(2+4+8+・・・+2^N)＜2^(2^(N+1))

n≧4とするときe^(e^(n-1))＜x≦e^(e^n)となるようなxを考える。
n≧4に対してe^(n-1)＞2^nであるからe^(e^(n-1))＞2^(2^n)
従ってx以下の素数の個数を表す関数をπ(x)とすれば
π(x)≧π(e^(e^(n-1)))≧π(2^(2^n))≧n
x≦e^(e^n)からloglogx≦nであるのでπ(x)≧loglogx　(x＞e^(e^3))
2≦x≦e^(e^3)のときもπ(x)≧loglogxは成立する。
よってπ(x)≧loglogx　　（x≧2）