速度の問題です。

質問

xy平面上の点Ｐ（ｘ、ｙ）は時刻ｔの関数として、ｔ≧０のとき、
x=e^tcosπt、y=e^tsinπtで表される。

（１）点Ｐの速度のｘ成分が０になる時刻ｔのうち、ｔ＞０でもっとも０に近いものをｔ0とするとき、sinπｔ0、cosπｔ0を求めよ。

（２）０＜ｔ≦２において、点Ｐの速度のｘ成分が０になる時刻をすべて求め、（１）のt0を用いて表せ。

（３）０＜ｔ≦２において、点Ｐの速度のｙ成分が０になる時刻をすべて求め、（１）のt0を用いて表せ。

という問題なのですが、x=e^tcosπtを微分して、
ｘ成分が０のとき、e^t(cosπt-πsinπt)=0、e^t≠0より、
cosπt-πsinπt=0,
1-sin^2πt=π^2sin^2πt,
sin^2πt=1/(π^2+1),
sinπt=±√1/(π^2+1)となり、t0の求め方が分かりません。

数学は苦手なのですが、分かりやすく教えて頂けたらありがたいです。
あわせて（２）と（３）のヒントも教えていただけないでしょうか。宜しくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

＞cos(πt)-π* sin(πt)＝ 0
これを満たす正で最小のものが t0ということですから、t0について
cos(π・t0)-π* sin(π・t0)＝ 0

が成り立つことになります。
三角比のある意味ベタな等式： sin^2(π・t0)+ cos^2(π・t0)＝ 1
と連立させたりと考えればいいと思います。

問いでは、「t0を求めよ」と書かれてはいませんね。＾＾
求めるものは何かをもう一度よく確認してみてください。

(2)
満たすべき式は、先と同様
cos(πt)-π* sin(πt)＝ 0

です。
たとえば、
tan(πt)＝ 1/π

と変形すれば、なんか求められそうにないですか？
単位円をぐるっと回してみてください。
0＜ t≦ 2より 0＜ πt≦ 2πであることに注意して。

(3)も (2)と同様にできると思います。