単振動＋ホワイトノイズの時のFFTの振幅

質問

振幅ルート２（実効値１）の正弦波（周波数f）に標準偏差が0.1のガウシアンホワイトノイズが重畳したとき、ＦＦＴで算出される周波数fの振幅はどう変化するのでしょうか？（窓関数による誤差は無視した場合）
よろしくお願いします。。
感覚的には（1^2+0.1^2)＾0.5なのですが・・・・

回答No.1

imoriimori

専門家では無いこともあり、定性的にだけ記しますね。細かいところは一部間違いがあるかも知れませんが、「感覚的には（1^2+0.1^2)＾0.5なのですが・・・・」というのが無理だと言うことだけ判ってもらいたいと思うので。

とりあえず話が楽な連続関数のフーリエ変換として書いてみましょう。
正弦波というのはぴったり周波数が確定しているのですよね。とすると、正弦波をフーリエ変換すれば周波数軸上である一点ｆだけにある振幅で出ます。　
しかし、雑音は違いますよ。ガウシアンかどうかはどうでもいい(関係ない）のですが、ホワイトノイズですよね。それはある周波数帯域幅Bに亘っています。その合算が時間軸上で標準偏差0.1として現れているのです。それが周波数面でどういう振幅（フラットな値nとしましょう）として見えるかは、B次第です。Bが狭ければ高さは高い。たとえばn^2×B＝0.1^2という関係になるはずです（n^2×B＝0.1^2×Tという形かも。この場合Tは観測時間。少なくともフーリエ変換の定義式次第でちょっと変わるのは確かですが）。
ここで、どうしても周波数分解能の話も出てきます。上記の値nは1Hzあたり、という値です。ある周波数f一点での値だけで議論したいと言ってもそれはできません。正弦波の周波数fから微小な周波数Δfだけ離れたものまでfであると見なす、として始めて、正弦派と雑音と合算の振幅が計算できます。それにはΔfが影響してきます。Δfがゼロなら雑音の影響はゼロ、fの一点で見える振幅は正弦波のほうの値だけです。

以上は連続関数で記しましたが、FFTと書かれているので、離散フーリエですよね。そして実際問題としても離散有限の観測になりますから、自ずから離散フーリエの世界になります。この場合も話は同じです。結局の所、サンプリングピッチ（時間分解能→周波数帯域幅）、観測時間（→周波数分解能）が定まって始めて、ある周波数fでの合算振幅はいくらになるかという計算が出来るのです。言い換えれば計算式にはΔｆとBとが必ず入ってきます。

お礼

回答ありがとうございます。

ＦＦＴにおいて、ノイズも信号も⊿ｆとＢを変更してもエネルギー密度が変わるわけではないので、ＦＦＴでの縦軸の値は変化しないと理解していますが・・・
ノイズと信号のサンプリング条件が同じ条件の場合に計算式に⊿ｆとＢが入ってくるのは理解できません。

それと、ノイズ形状がガウシアンであるということは、ノイズの各周波数の振幅強度（実効値）が標準偏差値と同じ値であるということを示しているものでＦＦＴの結果と密接に関係あると思うのですが・・・・・

回答していただいた内容は、一見正しそうに見えるのですが、実際の観測データを考えるとどこか違っているような気がします。
もう少し、補足をいただけないでしょうか。。