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パラボラ面に同時にボールを落としたとき
放物線を対称軸について回転した形状(パラボラアンテナの形状)を下におき 上からボールを同時に落とすという実験をNHKでやってました。 光や音など直進するものなら、焦点で同時にぶつかることはわかるのですが ボールのような抛物運動をする物体の場合も同じ点でぶつかるのでしょうか? 番組では焦点の辺りにベルを置いて、 ボールをぶつけるような演出だったのですが 理論的に考えても多少の差が出るように思うのですが…。
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- htms42
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＃３、＃４です。 もしかしたら早とちりをしていたかも分かりません。 私はボールが集まってきているビデオ映像を前提にしていました。 放物運動一般を考えていたわけではありません。放物運動一般としたら一点に集まってくるということが成り立たないというのは難しい式を使わなくても分かることです。 ずれても良さそうに見えるのに一点に集まってきているというのはどうしてだろう、どういう条件があれば一点に集まってきているとしていいのだろうかという問いだと勝手に解釈していました。 ＃５様の回答を見て、もしかしたらｓａｋ ｓａｋさまもこういう内容のものを要求していたのかなという気持ちになりました。 実験条件を無視して一般的に考えるということは高さが曲面の大きさに比べて大きいとかの条件を置かないということです。 その場合について考えてみます。 原点Ｏを頂点とする下に凸の（上に開いた）放物線を書いて下さい。 適当な高さｈのところに線を引きます。放物線との交点を左からＰ，Ｑとします。ＰＱの中点をＭとします。ＭはＯの真上の位置になります。 ＰＱ線上からボールを落下させるとします。落下距離は０～ｈの範囲にあります。 完全弾性衝突だとします。 Ｍから落下させるとＯで跳ね返ってもとのＭの位置まで戻ります。 Ｍの少し左側の位置から落下させると反射した後の軌跡はＭの少し下の位置でＯＭを右に横切るような放物線になるはずです。頂点はＰＱよりも下にあります。 Ｐのすぐ近くから落下させます。壁に反射したボールは少ししか跳ねないのですからＯＭを横切ることなく落下するでしょう。一点に集まることはないというのは歴然としています。ややこしいい式など必要ありません。 ＃５様の式はこのことを言っているだけです。 一点に集まってくるとみなせるのはどういう条件の時か、その時の差はどれくらいであるかが知りたいというのであれば式の立て方が変わってきます。 私は高さが１０ｍ、半径が１ｍの放物面鏡で焦点距離が２．５ｍという値を想定していました。 でも＃５で得られた式にｈ＝１０、ａ＝１を入れても意味がありません。数値を変換して入れないといけない式になっています。折角出した式が数値を直接代入して大きさを評価するのに使うことができないものになっているのは残念なことです。その理由は式から次元が消えているからです。 ｐを焦点の高さとして放物線をｙ＝ｘ^2／(４ｐ）の形で表すとｙ、ｘ、ｐは共通に長さの次元を持つとしてもかまわなくなります。文字式は後で数値を入れて大きさの評価ができるような表現になっていないといけません。 「相似形である」というのは確かですがそれによって使いにくい式になったのでは意味がありません。 物理で扱う式になっていません。
- saxan
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No.5です。 vx=-2v0sin2θ となっていますが vx=-v0sin2θ の誤りです。
- htms42
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>結局のところ、私にとって有用だったのは「少しずれます。」の7文字のみです。 しかも根拠を示されておらず、とても残念です。 高校物理の範囲で計算できると書きました。 やってみようとはしておられないのですね。 私は概算だけで回答を書きましたのできちんとしたものが必要であればまた改めて計算して書くことにします。 それまではご自分でも努力して下さい。 放物面鏡の幾何的な数値の例も示してあります。 ｙ＝０．１ｘ^2の放物線であれば ｘ＝１ｍのところでｙ＝０．１ｍです。焦点は１／（０．１×４）＝２．５のところにあります。 これは直径が２ｍで端が床から１０ｃｍ高くなっている放物面鏡に対応します。 （「放物線の焦点」も高校数学で出てきます。検索しても出てきます。） 落下の高さは１０ｍほど必要でしょう。 １０ｍに対して鏡面の高さの差が端で１０ｃｍですから１／１００の比率です。 反射時間のずれ、鏡面への衝突速度のずれはこの比率の範囲内で生じています。 反射の角度の違いによる水平方向成分の違いはこれよりも大きな比率で生じます。 Ｘ＝１での反射とｘ＝０．５での反射を比べます。ｃｏｓθの値が ０．３８５から０．１９８に変わります。反射速度の大きさが変わらないとすると距離が２倍違いますのでｘ=０への到達時間の違いは１／０．３８５と０．５／０．１９８の違いです。３／１００ぐらいの違いになります。違いは１／１００よりも大きいのです。でもあまり大きい違いではありません。 放物運動による直線からのずれの大きさは到達時間の大きさで決まります。でも一点に集まるかどうかですから直線からの「ずれの大きさ」ではなくて「ずれの大きさの差」が問題になります。それは到達時間の差で決まります。（もし到達時間に差がなければ放物運動による直線からのずれは同じです。） いくつかのずれの原因が重なっていますがその影響はすべて１／１００程度付近に収まっているはずです。 直径２ｍの円に対して１０～２０ｃｍの範囲を考えれば比率は１／１０以下ですから十分この範囲に収まっているだろうという予測ができます。 重力の加速度の値に９．８ｍ／ｓ^2を使うのであれば高さを９．８ｍとしておく方が少し数字が見やすくなります。 追加 幾何的な焦点の方向に反射が起こるというのは完全弾性衝突（反発係数 ｅ＝１）が成り立っているときです。 スーパーボールはよく弾みますが完全弾性衝突ではありません。 もし、完全弾性衝突であったとすると鏡面の中央に落下したボールは初めの落下位置までまっ直ぐに上がっていかなくてはなりません。でもはずんだボールの最高点はそれほど高くはありませんでした。 １０ｍから落として反射したボールの最高点が６．４ｍだとしたらｅ＝０．８です。８．１ｍだとしたらｅ＝０．９です。 この係数を使って反射の方向を修正して計算することも可能ですがややこしいです。 でもボールとボールの高さの差で考えると反発係数が１の時の考察で得た値と同程度かまたはそれよりも小さいだろうと予想できます。反射後の速度の大きさが小さくなり、反斜角度は水平に近い方にずれます。狭い範囲に集まってくるような影響ですから実験をやる上では気にすることではないという判断が可能でしょう。 鏡面にボールが当たると摩擦で回転が生じますので速度が減少します。これは反発係数の中に突っ込みにしておいていい効果だと思います。
- htms42
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映像での内容については２つの疑問が出てきます。 １つは「放物運動であるからぶつかるとしても放物面の焦点とはずれるのではないか」ということです。 もうひとつは「本当にぶつかるのか」、「同じ時間に同じ場所を通るということは起こるのか」ということです。 条件設定は 同じ高さから落とす・・・１０ｍほどはあったようです。 放物面鏡で反射させる・・・直径と同じ程度の高さまで上がっていたようです。 ボールは直径３～５ｃｍ程度のスーパーボールだったようです 焦点（？）にベルを置いています。・・・ベルの大きさは１５～２０ｃｍほどでした。 放物面の半径を１ｍ、焦点の高さが２．５ｍとすると中心から１ｍ離れた位置で０．１ｍ高くなっています（もし、０．２ｍ高くなっていれば焦点の高さは１．２５ｍです）。この位置で反射が起こると焦点に向かう方向に反射されるのですから水平の対しての角度θはtanθ＝２．４で決まります。これで同じ高さから落ちた２つのボール、中心で反射したボールと中心から１ｍ離れたところで反射したボールの反射後の運動は計算出来ますから上の疑問はすべて検証できます。高校物理の範囲でできますからやってみて下さい。 結論 少しずれます。でも集まってくるという印象の方がつよいですからずれは気になりません。 直径２ｍの範囲に広がっていたボールが直径２０ｃｍぐらいの範囲に集まってくるのです。１０個とか２０個のボール（直径３～５ｃｍ）が集まってくれば印象は強いです。ベルを使っているということでベルの大きさ分程度の違い（到達時間の差、到達位置の違い）は消えてしまいます。 放物線からのずれはどちらのボールにも共通に現れます。ベルの位置を幾何的な焦点の位置から少し下げればいいです。 ずれが生じるのはボールがどこで反射したかによってボールの速度の水平成分が大きく変わるのが主な理由です。 反射直前の速度はほとんど差がありません。（１０ｍのところから落として高さに０．１ｍの違いがあっても速さの差、落下時間の差はほとんど問題になりません。）これによって反射してから中心線上の位置に達するまでの時間に差が生じます。 おまけ 私は放物運動の授業の時に紙で作ったスロープで演示実験をやります。 水平方向に１．０ｍ／ｓで飛び出すように調整したスロープです。 机の上にこのスロープを置いて床までの高さを測ります。生徒に落下地点までの距離を計算させ、その位置にビー玉を並べます。スロープの上からビー玉をころがします。 落下したビー玉が並べてあるビー玉に当たってはじけ飛ぶと大喝さいです。高さを変えてまたやってみます。また当たります。生徒は「摩擦はないものとする」とか「空気抵抗は無視する」とかの仮定の上で成り立っている計算だと思っていますからこんな簡単な装置で計算通りに当たるとは思っていないのです（もしかしたら多くの高校教師でも同じ事情かもしれません）。 カーボン紙を置いて落下地点を記録すると発想する人が多いようです。でもこうするとずれが目立ってきます。ビー玉を使うとぶつかってはじけ飛んだということで計算通りの事が起こったという印象の方が強く出てきます。ビー玉の大きさ分程度のずれは消えてしまいます。落下予想地点にビー玉を横に並べることでスタート地点でビー玉をどこに置くかについて神経質にならなくてもいいという効果もあります。 私がビー玉を並べたというのとＮＨＫがベルとスーパーボールを使ったというのとは発想が似ています。 でもＮＨＫの実験にはお金がかかっています。面白いけれも真似のできないものだと思うでしょう。見せるとしたらビデオでということになるでしょう。 私のやっているのは材料費が１００円程度のものです。 どこの教室でもやることができるものです。
補足
回答ありがとうございます。 しかしながら、私の疑問は 「抛物線上の異なる点において完全弾性衝突で反射した質点が 同じ点を通ることがありうるか、それは同じ時刻か」です。 ＞少しずれます。でも集まってくるという印象の方がつよいですからずれは気になりません。 印象に関してはあの映像で十分にわかりますから説明は不要です。 結局のところ、私にとって有用だったのは「少しずれます。」の7文字のみです。 しかも根拠を示されておらず、とても残念です。 おまけに関してはとても興味深いものですが 今回は抛物面に関する性質が質問の中心ですので 趣旨が違うように思います。
- naniwacchi
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こんばんわ。 「大科学実験」ですね。何気にファンだったりします。＾＾ ボールはスーパーボールを使っているそうで、 弾性が高いので反射した後もほぼ直線の軌道をとるようです。 高さもその分、十分な高さをとっているかと。 スーパースローをよく見ると、微妙にはずれている感じもします。 でも、そんなことは気にならないような正確さですし、 理論が実証されていて、ちょっと嬉しくさせてくれる映像でもあります。 実際、あの映像をとるには相当な苦労されているそうで、 以下の参照URLにその様子が書かれています。
- spring135
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回転放物面が鏡の場合、回転軸に平行に入射した光線は回転放物麺で反射され焦点を通ります。これは平面にxy座標をとって、放物線y=x^2/4を描いて考えることができます。y軸に平行な直線が放物線との交点において反射条件（入射角=反射角）を満たして反射すると焦点（0,1）を通ることを確認することによって確かめることができます。 質問の趣旨は球がある大きさを持っているので、直線の反射とは挙動に差が出るのではないかということでしょうか。つまり球の運動は中心について考えるので、中心で反射するのではないから、大きさのない直線の場合とは違うだろうという疑問かと思います。 さらに反射後の球の運動は完全に放物運動で直線の反射とは、反射点が回転軸から遠い場合、明らかに差が出ると思われます。 この問題は代数計算によって解けるのかもしれませんが、焦点と頂点との距離に比べて球が小さく、かつ、反射点が回転軸に近い場合の限定すれば、直線の反射と同様とみなすことができると思います。
補足
回答ありがとうございます。 球の大きさは考えていませんでした!! 私の質問の趣旨は、球を質点と見なし 球の運動は抛物運動をするとしたときに 1点を通るかどうかというものです。 いかがでしょうか?
補足
回答ありがとうございます。 ＞Ｍの少し左側の位置から落下させると反射した後の軌跡はＭの少し下の位置でＯＭを右に横切るような放物線になるはずです。頂点はＰＱよりも下にあります。 ＞Ｐのすぐ近くから落下させます。壁に反射したボールは少ししか跳ねないのですからＯＭを横切ることなく落下するでしょう。 このような文章より私は数式の方がわかりやすいように思います。 また実際の長さは測定できませんから、結局のところ 焦点距離を基準にすればよいことになるので 回答者様のような具体的な数値を想定してしまって普遍性を失った 回答になっていない点も私は良いと思います。 とは言え、3度も回答していただき、ありがとうございました。