極限公式から導く？

質問

h→0の時、lim{(e^x - 1)/x} = 1 から、x→0の時、 e = lim{(1 + x)^(1/x)}　が導出されると本に書いてあったのですが、どう導出されるのかがわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

＞回答ありがとうございます。
＞t→0の時、lim{t/log(1+ t)}から・・・
＞分母、分子ともにゼロに近づくので１となるということでいいのでしょうか？
ともにゼロに近づくからというのは、間違いです。
ゼロへの「近づき方」によって、1以外の有限確定値になったり、発散したりしますね。

さて、本題ですが、一応以下のような感じで。
--------------------------------------------
e^x- 1＝ tとおくと、x＝ log(1+t)
また、x→ 0のとき、tについても t→ 0となるから、与えられている極限の式より
lim[t→ 0] { t/log(1+t) }＝ 1
lim[t→ 0] { 1/log((1+t)^(1/t)) }＝ 1

よって、分母は 1に収束する。
lim[t→ 0] log((1+t)^(1/t))＝ 1
∴lim[t→ 0] (1+t)^(1/t)＝ e

最後は、log全体が 1に収束するので、logの中身は eに収束するということになります。

お礼

こちらも二回目の回答で、ありがとうございます。
>ゼロへの「近づき方」によって、1以外の有限確定値になったり、
>発散したりしますね。
ちょっとここの意味がよくわからないですが、「ともにゼロに近づく」ではなくて、「ともに正からゼロに近づく」ということでいいんでしょうか？

本題の方はとてもわかり易かったです。
しっかり教科書に転記させていただきました。
ありがとうございます。

回答No.5

naniwacchi

#4です。
お礼での問いに対してです。

＞>ゼロへの「近づき方」によって、1以外の有限確定値になったり、
＞>発散したりしますね。
＞ちょっとここの意味がよくわからないですが、「ともにゼロに近づく」ではなくて、
＞「ともに正からゼロに近づく」ということでいいんでしょうか？

たとえば、f(x)＝ 2xと g(x)＝ xという 2つの関数が与えられていて、
lim[x→ 0] f(x)/g(x)という極限を考えてみます。
この場合、極限を計算するということをしなくても、f(x)/g(x)＝ 2となっています。
それぞれは f(x)→ 0, g(x)→ 0となりますが、商は 1とはなりません。

f(x)＝ x^2, g(x)＝ xといった例でも同様です。（この場合は、f(x)/g(x)→ 0）

それぞれの関数がゼロに収束するとしても、
「その収束の度合い」によって商の収束は変わってきますよ。ということです。
このような誤りは、ここでもときどき見られます。注意してください。

お礼

３回も回答していただき、本当にありがとうございます。
>「その収束の度合い」によって商の収束は変わってきますよ。
>ということです。
そういうことでしたか。x→０であっても商はいろいろあるという事ですね。そこまで配慮していただいて恐縮です。

回答No.3

lusa

了解です。

一般に、a>0なら
a=e^(loga)・・・（＊）
が成り立ちます。

証明）
b=e^(loga)とおく
b>0だから両辺の自然対数をとると
logb=loga
log(b/a)=0
b/a=1
b=a

よって（＊）の式でa=(1+x)^(1/x)(>0)とおけば、
(1+x)^(1/x)=e^{log((1+x)^(1/x))}
=e^{(log(1+x))/x}
となります。

お礼

二回も回答させてしまってすみません。
ありがとうございます。
なんというテクニカル。
いやはやこれは・・・よく思いつきましたね？
わかりました、ありがとうございました。

回答No.2

lusa

ちょっと技巧的ですが…

(1+x)^(1/x)=e^{(log(1+x))/x}
x=-1+e^t (t=log(x+1))とおくと、x→0のときt→0より
e^{(log(1+x))/x}=e^{log(e^t)/(e^t-1)}
=e^{t/(e^t-1)}
=e^{(e^t-1)/t}^(-1)
→e^{1^(-1)}(t→0)
=e

お礼

回答ありがとうございます。
最初の式はどうやって導出したのでしょうか？
あんまり賢くないのでわかりません。
もし見てたら回答頂けるとすごく助かります。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

e^x- 1＝ tとでもおいてみてください。
すると、x＝ log(1+ t)となりますね。

これらを用いて、lim{(e^x - 1)/x}＝ 1を書き換えます。

厳密には limの計算と logの計算の順序を気にしないといけませんが。

お礼

回答ありがとうございます。
t→0の時、lim{t/log(1+ t)}から・・・分母、分子ともにゼロに近づくので１となるということでいいのでしょうか？

ちょっと理解に自信ないです。あってますか？
もし見てたら一言でいいので回答くださると助かります。