点電荷のまわりの電位を求める式の導出

質問

点電荷のまわりの電位を求める式（q/4πε0r)[V]の導出はどのようにするのでしょうか？どうかご教授願います。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

半径r方向の電場Eがガウスの定理から
　　E＝q/(4πε0・r^2)
と求められることはよろしいですよね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87

　次に、この静電場中の点Aから点Bまで点電荷Qを移動させたとしますと、その移動で行った仕事は、静電位によるポテンシャル・エネルギの変化分に等しいので、次のように表せます。
　　QφA－QφB＝[A→B]∫QEs・ds
　　ただし、dsは点Aから点Bまでの経路の微小分、Esは経路dsにそった電場の成分

　この式を微分の形で書きあらわしますと、
　　-dφ＝Es・ds　（⇒　E＝-gradφ）
となりますので、
　　φ＝-∫Es・ds＝－∫q/(4πε0・r^2)dr＝q/(4πε0・r)
と求められます。

補足

ご回答ありがとうございます。
式の中のφはなにを表しているのでしょうか？

回答No.5

akitaken

#2です。
Vが電位なのですが、FやらEを求めたせいで混乱を招いたようですね。

いらぬおせっかい申し訳ありませんでした。

回答No.4

Mr_Holland

＃１です。
　補足を拝見しました。

＞式の中のφはなにを表しているのでしょうか？

　φは電位を表しています。
　（φAは点Aでの電位、φBは点Bでの電位です。）

回答No.3

sanori

電場Ｅは、
Ｅ ＝ ｑ／（４πε0ｒ^2）

これをｒで積分すれば、スカラーポテンシャルφ（電位）

φ ＝ ∫ｑ／（４πε0ｒ^2）ｄｒ
　＝ ｑ／（４πε0）∫ｄｒ／ｒ^2
　＝ ｑ／（４πε0）・（－１／ｒ） ＋ Const.
　＝ －ｑ／（４πε0・ｒ） ＋ Const.

無限遠点の電位をゼロとする基準が合理的なので、
ｒ→＋∞　のとき　φ→０　となるように定数（Const.）を決めると、
Const. ＝ ０

よって、

φ ＝ －ｑ／（４πε0・ｒ）
ただし、無限遠点の電位をゼロ基準

回答No.2

akitaken

ガウスの定理より
∫E・ｎｄｓ＝Q/εo

点電荷の表面積＝４πr^2なので
E・４πr^2＝Q/εo
E＝Q/４πεor^2

V＝－∫Eｄｒだから
V＝－Q/４πεo∫１/r^2ｄｒ
＝Q/４πεor

またF=QEの関係より
F＝Q^2/４πεor^2
が導けます。

補足

求める式はq/4πε0rなのですが・・・