ローレンツ力による運動がわかりません

質問

以下の　問２がわかりません。
問１＞
2 枚の円形の金属板を帯電させて並行に置くことでその間に静電場を作り出す。（静電場Ｅの向きは高さ方向）
そしてそれに対して十分幅の広い極を持つ磁石を２つ、左右にＮ、Ｓ極を対向させて置く。　（静磁場Ｈの大きさは一定）
この空間の中央に置かれた電子に働くローレンツ力Ｆを計算せよ。
＜
これは　わかります。

問２＞
上の電子は、どのような運動をするか。
＜
これが　わかりません。

よろしくお願いします。

回答No.3

noname#185706 · ベストアンサー

＃２への「お礼」に対して

m w’= -q w×B
で B = (B, 0, 0) なら
m wx' = 0　(1)
m wy' = -q wz B　(2)
m wz' = +q wy B　(3)
です。

(1)より
wx = c1。
積分定数 c1 は初期値ですが、この問題では初期条件は特に与えられていませんから、c1 = 0 と限定することはできません。

ω = q B / m　(4)
とすると、(2),(3)より
wy'' = -ω wz' = -ω^2 wy。
これより
wy = c2 cos(ω t + φ)。　(5)
積分定数 c2 と φ は初期条件で決まりますが、今の問題では初期条件は特に与えられていませんから、c2 と φ を特定の値に限ることはできません。

(3),(4),(5)より
wz' = ω wy = c2 ω cos(ω t + φ)。
これより
wz = c2 sin(ω t + φ) + c3。　(c3 は積分定数)
(2)を満たすためには
c3 = 0。
∴ wz = c2 sin(ω t + φ)。　(6)
ここの sin は cos に直さない方が、(5)と合わせて円運動であることがわかりやすいと思います。

なお、「円運動」の向心力は(2),(3)に現れているローレンツ力です（「お礼」の a0 ではありません）。

回答No.2

noname#185706

＃１の

>（B~・u~ = 0 は u~ の B~ 方向の成分が 0 ということですが、上で見たように v~ の B~ 方向の成分は一定なので、それは w~ の初期値として扱えばよいのです。）

の部分は誤解を招くかもしれませんので、次のように訂正します。

（B~・u~ = 0 は定ベクトル u~ の B~ 方向の成分が 0 ということですが、上で見たように v~ と w~ の B~ 方向の成分は一定なので、v~ の B~ 方向の成分は w~ の成分として扱えばよいのです。）

お礼

ありがとうございます。

ベクトル記号を省略して書きますと、
m w’= -ｑ(E + u×B + w×B)
　　　= -ｑ w×B
Bの方向をｘ軸、Eの方向（高さ方向）をｚ軸として、ｘ,ｙ,ｚ成分に分けると、
m wx’＝　0　　　　　　　　　
m wy’＝ -ｑwy |B|　　　　　・・・　手前方向（Bに垂直な方向には円運動）
m wz’＝ -ｑwz |B|
これを解いて、
ｗx＝定数１
ｗy＝定数2 cos(q|B| t/m＋定数3)
ｗz＝定数2 cos(q|B| t/m＋定数3 + π/2)
となると思いますが、
初期条件が、よくわかりません。

ｗｘ＝０　　　　　　　　・・・　Bの方向
ｗy0＝ｕy＝｜E|/|B|　　　（E にも B にも垂直）
ｗz0＝０　　　　　　　（初期の加速度ａ0＝ｑE/m）
で、いいでしょうか？
また、上記　a0が円運動の向心力になるのでしょうか？

回答No.1

noname#185706

電場を E~ ベクトル、磁場を B~ ベクトル、電子の電荷を -e、質量を m、速度を v~ ベクトルとします。時間微分を「'」で表すと、運動方程式は
m v~' = -e (E~ + v~×B~)。　(1)
いまは E~ ⊥ B~ なので、v~ の B~ に平行な成分は一定であることがわかります。

E~ + u~×B~ = 0　(2)
を満たす定ベクトル u~ を用いて
v~ = u~ + w~　(3)
とすると、(1)は
m w~' = -e (E~ + u~×B~ + w~×B~)
　　　= -e w~×B~　(4)
となります。よく知られているように、これは B~ のまわりのらせん運動（つまり B~ に平行な方向には等速運動であり、B~ に垂直な方向には円運動）を表します。

u~ を求めます。(2)から
0 = B~×(E~ + u~×B~)
　= B~×E~ + B~×(u~×B~)
　= B~×E~ + B^2 u~ - (B~・u~)B~　(5)
u~ は(2)を満たせばよいので、
B~・u~ = 0
としても一般性は失われません。
（B~・u~ = 0 は u~ の B~ 方向の成分が 0 ということですが、上で見たように v~ の B~ 方向の成分は一定なので、それは w~ の初期値として扱えばよいのです。）
よって(5)から
u~ = E~×B~/B^2。　(6)
これは、E~ にも B~ にも垂直な方向の運動です。
（u~ はドリフト速度と呼ばれます。粒子の電荷にも質量にも依存しないという特徴を持ちます。）

結局、電子は、(6)で表される速度のドリフト運動と(4)で表されるらせん運動を重ね合わせた運動をすることになります。