斜めに投げ上げる運動（放物運動）に関する問題

質問

下記の問題がわからず、困っております。問題の解き方、または考え方を教えていただけないでしょうか。

水平面と角θをなす斜面に対し角αで物体を初速v0で投げるとき、角αをどのように選ぶと物体は斜面上を最も遠くまで到達するか。

現在大学で力学の基礎を学んでいますが、高校のとき物理を選択しておりませんでした。教科書などを読んでもよくわかりません。何卒よろしくお願いします。

回答No.5

noname#65317

式訂正です。ごめんね。
左辺の斜面の式の傾きはcosθではなくtanθでした。

y(t)=(v0(sin(α+θ))/{v0(cos(α+θ))})x(t)+(g/2v0^2(cos^2(α+θ)))x(t)^2
=(tanθ)x(t)

この式からx(t)の解を求め、Aとする。
A=vo^2(1-tanθ)/g
B=y(t)=Atanθ　= vo^2tanθ(1-tanθ)/g

三平方の定理から物体の飛んだ距離は、
=√(A^2+B^2)
= ．．．
これが答えで、きれいな式になりますね　^^

回答No.4

noname#65317

y(t)=(v0(sin(α+θ))/{v0(cos(α+θ))})x(t)+(g/2v0^2(cos^2(α+θ)))x(t)^2
=(cosθ)x(t)

このx(t)に関する二次方程式を解いて下さい。
すなわち斜面の直線方程式と、物体軌道の二次方程式の交点の座標x(t)を求めます。

ちょっとだけひねってある問題ですね (^^

回答No.3

noname#65317

あれ、ごめんなさい。

>水平面と角θをなす斜面に対し

この条件が計算に抜けてました。
前の回答はθ=0の水平面の条件なので、
角度θの斜面を加味してね。

回答No.2

noname#65317

物体は空気抵抗が十分小さい鉄等の小玉と仮定する。
物体は水平x方向に速度 v0cosα[m/s]の等速運動をする。
同物体は垂直y方向に初速度 v0sinα[m/s]、重力加速度 －g[m/s^2]の
加速度運動をする。

よって、時刻t[s]でのx方向速度Vx(t), ｙ方向速度Vy(t)と置くと

Vx(t)=v0(cosα)
Vy(t)=v0sinα-gt
物体の時刻t[s]での座標位置(x(t), y(t)) と置くと

x(t)=∫Vx(t)dt=∫v0(cosα)dt=v0(cosα)t ...(1)式

y(t)=∫Vy(t)dt=∫(v0sinα-gt)dt
=v0(sinα)t-(1/2)gt^2 ...(2)式

(1)式より
t=x(t)/{v0(cosα)} ...(1)'式

(1)'式のtを(2)式へ代入して
y(t)=v0(sinα)x(t)/{v0(cosα)}+(1/2)g(x(t)/{v0(cosα)})^2
=(v0(sinα)/{v0(cosα)})x(t)+(g/2v0^2(cos^2α))x(t)^2
物体の落下点ではy(t)=0より
y(t)=0=(v0(sinα)/{v0(cosα)})x(t)+(g/2v0^2(cos^2α))x(t)^2
=x(t){(v0(sinα)/{v0(cosα)})+(g/2v0^2(cos^2α))x(t)}

∴ x(t)=0 or x=2v0^2cosαsinα/g

x>0なので
x=2v0^2cosαsinα/g ...(3)式

(3)式が物体の落下点x座標である。
0≦α≦π/2　(=90°)の範囲でα=45°(=π/4)で、
cosαsinα=(1/√2)x(1/√2)=1/2の最大値になるので
(3)式の最大値=v0^2/g[m]を得る。

答え v0^2/g[m]

私が大1のころは、空気抵抗力を加味し、物体は速度に比例した
空気抵抗力を受ける仮定をしたと記憶しています。
この仮定を入れるのが大学教養学部のレベルで、
この仮定を入れないのが高校の物理Iでした。

参考（復習用サイト）
http://www4.osk.3web.ne.jp/~moroko/index.html
http://www.crossroad.jp/mathnavi/

回答No.1

BookerL

考え方だけ。

　初速度ｖ0、角αで投げた物体の軌跡の式を作る。
　（水平方向は等速、鉛直方向は投げ上げ という基本的な式を作り、時間ｔを消せば軌跡の式になります。）

　軌跡の式と斜面の式ｙ＝（tanθ）ｘ とから、軌跡と斜面の交点＝斜面上の落下点 の座標を求める。

　落下点の座標には α を含むので、αを変数としてこの座標（例えばｘ座標）が最大になる条件を求める。

　という方針がオーソドックスでしょうか。
　計算がちょっと邪魔くさそうですが。