高校数学に関しての質問です

質問

点Ｐが円　Ｘ２乗+Ｙ２乗－４Ｘ＝０の周上を動く時、点Ａ（0,4）と点Ｐとの距離ＡＰの最大値と最小値を求めよ。
この問題の解法を教えて下さい

回答No.6

mister_moonlight

別解を書いとくが、2つの円を対象にした最大値と最小値とは、極めて特殊な関係にあることに着目したら良い。

2つの円を　(x-2)＾2＋(y)＾2＝4　‥‥(1)、(x)＾2＋(y-4)＾2＝k＾2　‥‥(2)、k≧0　とする。
つまり、(2)の円の半径：k　の最大値と最小値を求めると良い。
座標上に2つの円を書くと、
最大値は、(1)が(2)に内接する時、つまり　2円の中心間の距離＝2つの円の半径の差　の時。
よって、√(4＋16)＝｜k-2｜であり、k≧0から　k＝2(√5＋1)
最小値は、(2)と(1)が外接する時、2円の中心間の距離＝2つの円の半径の和　の時。
よって、√(4＋16)＝k＋2であり、k＝2(√5-1)
以上から、2(√5-1)≦k≦2(√5＋1)。

回答No.5

mnakauye

絵が出ないようなので、もう一度アップです。

回答No.4

mnakauye

こんにちは。

このての問題は、必ずグラフを書いてときましょう。

問題の円は、中心が、（２、０）で半径が２の円だから、

絵を描くと（下の図）、点Pが動くとき、円の中心をとおる

赤い線の上にあるときが一番近くか、遠くかですね。

　これを見たら、赤い線は中心を通りますから、

遠いのは、Aから中心jまでプラス半径、

近いのは。Aから中心までマイナス半径です。

原点と点Aと円の中心は、直角三角形だから、

Aから円の中心まではルート（4の２乗＋２の２乗）で

でますね。

だから、最大は、２ルート５プラス２

　　　　　最小は、２ルート５マイナス２

ですね。

　もしも、その点を見つけなさいというのなら、

これも赤い線は、傾きがー２で、Y軸との交点（Y切片）が４

なので、ｙ＝－２ｘ＋４

これを元の円の式に代入したら、でますね。

これは自分でやってみてくださいね。

（こたえ　ｘは、２＋２/（ルート５）と２ー２/（ルート５））

回答No.3

mister_moonlight

条件の円は　(x-2)＾2＋(y)＾2＝4 だから　x＝2＋2*cosθ、y＝2*sinθ (0≦θ＜2π)と表せる。
従って、ＡＰ＾2＝(x)＾2＋(y-4)＾2＝4(cosθ＋1)＾2＋4(sinθ-2)＾2＝8(5＋cosθ-2sinθ)となる。
5＋cosθ-2sinθ　を合成すれば、最大値・最小値は直ぐ求められる。

他にも解法があるが。

回答No.2

nattocurry

x^2+y^2-4x=0
は、
x^2-4x+y^2=0
x^2-4x+4+y^2=4
(x-2)^2+y^2=2^2
と変形することが出来るので、
中心(2,0)、半径2、の円です。

円の中心をOとすると、
最大値＝AO＋半径
最小値＝AO－半径

まさか、座標が判っている2点間の距離の求め方が解らない、なんてことはないですよね。

回答No.1

melgitos

円x^2+y^2-4x=0は点(2,0)を中心とした半径2の円です。
なので点Aと点(2,0)との距離を計算してそれに2を±するとそれらが距離APの最大値と最小値になります。