数学の問題です

質問

下の等式が成り立つような正の整数m,n（m≧n)の組みは全部で４つあります。
これらの組みをすべて求めなさい。

mPn＝７！

回答No.4

rnakamra · ベストアンサー

nは明らかに7以下。
候補は7つ。しらみつぶしに探してみるのが手っ取り早い。

mについてもある種の制約がつく。
m^n≧mPn=7!≧(m-n+1)^n
の関係から
(7!)^(1/n)≦m≦(7!)^(1/n)+n-1
これでmの範囲はある程度絞られます。

例えばn=3とすると
5040^(1/3)≦m≦5040^(1/3)+2
17.1≦m≦19.1
m=18 or 19

このようにして大雑把にmを絞り込み、いくつかの条件でふるいにかけると残るのはわずかとなります。
ふるいにかける条件としては
mPnが7の倍数であること→m.m-1....,m-n+1の中に7の倍数があること
mPnが5の倍数であること→m.m-1....,m-n+1の中に5の倍数があること
mPnが9の倍数であること→m.m-1....,m-n+1の中に9の倍数が1個又は3の倍数が2個あること
mPnが7より大きい素数の倍数でないこと
この条件だけで正しくないmの値は殆どがはじかれます。

お礼

すばらしい。

回答No.3

sabatorasiro

答え丸教え否定派ですので教えませんでしたが
あなたはちゃんと考える人のようなので、再ヒントを。

7P7は7から数えて7項目までをかけあわせますが、7番目の項って？

そして7*6*5*4*3*2*1は7*(3*2)*5*(2*2)*3*2＝であり
かけあわせて5040になる連続する整数としては
これ以上項は増えないのだから、項を減らす方に向えばいいわけで
組み合わせを変えて
例えば8*7*6*5は作れるが、3が余ってしまい連続しないからダメだな
じゃあ次は・・・とか、やっていけませんかね。すぐ見つかると思います。

私は5040P1がなかなか見つかりませんでしたよｗ

お礼

残りの（n、m）の組み合わせは（７、６）、（１０、４）でしょうか。

補足

５０４０は７の階乗なので分母を１にすれば出来ることが、何とか分かりました。

回答No.2

sabatorasiro

最初二つはmPnがどういう計算なのかを考えれば楽に見つかるでしょう。
難しいと思えるひとつは、7！を素因数分解して組み変えれば出来ると思います。
最後の一つは盲点になりやすいですね。

補足

ふた通りは分かった気がします。（m、n）の組み（７、７）と（５０４０、１）かなと思います。あとが分かんないなー。

回答No.1

Tacosan

頑張って 1通りを探せ.

補足

難しいなあ