駿台摸試 過去問

質問

問題　２つの二次関数　f(x)=x^2-2ax-a^2+2a+2
g(x)=2mx+1 について

h(x)=f(x)-g(x)とする
(i)a+x≧０のとき
　これで何で軸x=a+m/2が定義域x≧0の範囲内にないといけないのですか？

(ii)a+x＜０のとき

あとaが変化するとき（i）（ii）のMの最大値をmの式であらわすとどうなりますか？

駿台摸試がちかずいているので早く回答してくださったらうれしいです！

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

＞ ｈ(x)のx≧０における最小値Mを次の各場合についてa,mの式で表せ。

h(x) は、解答例で定義されたのではなく、問題中で定義されていたのですね。
それで、ようやく雰囲気が掴めてきました。そもそも、「２つの二次関数」
というのが不審だったのですが、f(x) と g(x) ではなく、f(x) と h(x) が、
「２つの二次関数」なんでしょうね。

式を整理すると、h(x) = x^2 - 2(a+m)x + (-a^2+2a+1) となりますが、
h(x) の軸は、x = (a+m)/2 ではなく、x = a+m です。

この軸が h(x) の定義域 x ≧ 0 (「定義域」の由来も、補足でやっと解りました)
に含まれるか否かによって、どの x で h(x) が最小値を取るかが違ってくるので、
軸と定義域を比較する必要が生じるのです。

例えば、
F(x) = x^2 の x ≧ 1 での最小値と x ≧ -1 での最小値の求め方の違いを
考えてみましょう。軸 x = 0 が定義域 x ≧ 1 および x ≧ -1に
含まれる場合と含まれない場合とで、状況が大きく違うことが見えてくるはずです。

同じことを、この問題にあてはめてみると、
　(i) a+x≧０ のとき
　(ii) a+x＜０ のとき
で場合分けするのではなく、
　(i) a+m ≧ 0 のとき
　(ii) a+m ＜ 0 のとき
で場合分けしなければならないことが解ります。タイプミスなんでしょうが、
もとの質問文だけでは、このミスを見つけることさえ困難です。

さて、当初の質問に返って、
「軸が定義域x≧0の範囲内にないといけない」訳ではなく、
軸 x = a+m が h(x) の定義域 x≧0 の範囲内にある場合を (i)、ない場合を (ii)
と分けて処理することで、M が a, m の一本の式で書けるようになるのです。

お礼

わかりました。疑問が晴れてすっきりしました。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
わかりやすい解説ありがとうございました。

回答No.1

alice_44

その f(x), g(x) について
何をしろという問題なのかを書かないと、
何で場合分けしているのかも解らないし、
軸が定義域になければいけないのかどうかも
知りようがありません。
数学以前の問題を拗らせているようですね。

お礼

ありがとうございました。

補足

{ｈ(x)のx≧０における最小値Mを次の各場合についてa,mの式で表せ。}
すいません　急いでいたので文章が抜けていました。