微分可能であるための条件について

質問

（１）lim[h→0]{ｆ（a+h）-f(a)}/h が存在する。

（２）lim[h→0]{ｆ（a+h）-｛f(a)＋Ah}}/h＝０

（１）と（２）が同値であることを示してください。
よろしくお願いします!!

回答No.2

OurSQL · ベストアンサー

(1) --> (2) の証明 : (2) において、A を

A = lim [h → 0] { f(a + h) － f(a) } ／ h　と取れば、

lim [h → 0] [ f(a + h) －｛ f(a) ＋ Ah } ] ／ h

= lim [h → 0] [ { f(a + h) －f(a) }／h － A ] = 0

は、明らかに成り立ち、わざわざ ε－δ を持ち出すまでもないでしょう。

(2) --> (1) の証明も同様で、ある定数 A に対して、

lim [h → 0] [ f(a + h) －｛ f(a) ＋ Ah } ] ／ h

= lim [h → 0] [ { f(a + h) －f(a) }／h － A ] = 0　であれば、

lim [h → 0] { f(a + h) － f(a) } ／ h = A

は、明らかに成り立ちます。

しかし、「明らかに」がお嫌いでしたら、定義に忠実な証明を試みるのもいいでしょう。

回答No.1

Tacosan

最低限, (2) の A をなんとかしてくれないことには示しようがありません.

補足

（２）適当な定数Aに対して、
lim[h→0]{ｆ（a+h）-｛f(a)＋Ah}}/h＝０
でした。