３次元上の何点で楕円錐は決まるか

質問

初めて質問致します。
ご教示頂けますでしょうか。

３次元上の何点が決まると楕円錐は一意に決まるのでしょうか。また、何点が決まると有限個の候補に絞ることが出来るでしょうか。

ただし楕円錘は、AX^2+BY^2-CZ^2=0を回転および移動したものであって、A,B(ただしB!=A),Cは与えられているものとします。

例えば、２次元上の半径ｒが既知の円の場合には、
・３点で一意に決まる。
・２点で２個に絞る
ことが出来ることを想定しております。

どちらかだけでも構いません。どなた様かよろしくお願い致します。

回答No.5

alice_44

A:B:C:D:E:F:G:H:I:J という 10-1 次元の値を決めるのに、
既に A:B:C という 3-1 次元の値が与えられているのだから、
9-2 個の未知数を決定しなければならない…ということです。
それが連立一次方程式で与えられるとすれば、解くべき式は 7 本。
7 点を代入すればよいことになります。
ただし、ここで「7 本」というのは、実質的に 7 本という意味で、
方程式の行数ではなく、階数が 7 であることを指します。

回答No.4

alice_44

ああ、A,B,C は既知なんですね。見落としてた。
だったら、未知数３個ぶん方程式の数も減って、
代入する点は６点。

少し変に思うのは、半径既知の円と対照させるなら
楕円錐では比 A:B:C が既知となるはずで、
A,B,C の値が既知とするのはどうかと。
A:B:C だけが既知の場合、減る未知数は２個で、
７点が必要となる。

No.3 は、錐面ではなく、美術室にあるような
底面つきのを考えているので、
高さのぶんだけ未知数が１個増えている。

お礼

ご回答くださりありがとうございます。

楕円錐AX^2+BY^2-CZ^2=0の場合、A:B:Cが分かるのと、A,B,Cが分かるのに差がないと思います。楕円錐AX^2+BY^2-CZ^2=0と楕円錐kAX^2+kBY^2-kCZ^2=0は同じものだと思いますので。

楕円面AX^2+BY^2+CZ^2=1の場合は、A:B:Cが分かるのと、A,B,Cが分かるのに差があると思います。楕円錐の場合は、比だけが分かっている場合に近いので、７点必要になるのでしょうか。

回答No.3

info22_

楕円錐を決めるには
頂点から底面の中心までのベクトル（大きさと方向成分）と頂点の位置ベクトルと底面の中心からの長軸半径端までのベクトル（大きさと方向成分）、楕円扁平率(短軸/長軸の比）を指定する必要があります。
この為には、少なくても10個のパラメータを指定する必要があります。
座標点（位置ベクトルに相当、3個のパラメータ必要）だけを与えるのではなく、方向ベクトル（3～4個のパラメータ必要）など、何を与えるかは色々選択肢があると思います。いづれの与え方でも、10個位のパラメータを与えることが必要になるかと思います。

お礼

スパッとお答えくださりありがとうございます。

一般にｎ個のパラメータで表される形状は、ｎ点で決定できると言って良いものなのですね。何か参考となる文献がございましたらご紹介頂けませんでしょうか。

ご回答下さりありがとうございました。

回答No.2

momordica

A,B,Cは既知なんですよね。
でしたら、この楕円錐を平行移動及び回転移動して得られる楕円錐は、
平行移動を表す３次元のベクトルと、空間内の回転を表す３つの角度で決まります。
つまり自由度は６なので、６点を定めて連立方程式を作れば有限個に定められるはずです。
ちゃんとやってみてはいませんが、連立一次方程式になるわけではないので、点の取り方
にもよりますが、一般にはこれだけで一意には定まらないと思います。
しかし、６個の点により候補が有限個に絞られれば、そのうち１つだけに含まれるように
あと１点を取れば、楕円錐は一意に定まります。
したがって、有限個に絞るには６個の点、一意に絞るには７個の点が必要であると思います。

ただし、これはあくまで点の取り方によります。
平面上の円の場合と同じく、６点の取り方によってはそれらすべてを通る楕円錐が存在しない
場合もあることは言うまでありませんが、円の場合と違うのは、点の取り方によっては、
これらをすべて含む楕円錐が無限に存在し、有限個に定まらない場合があることです。
簡単な例としては、同一直線状に点をとると、点をいくつ取っても、この直線を母線に持つ
任意の楕円錐が条件をみたすことになり、有限個に定まることはありません。

お礼

ご回答下さりありがとうございました。

私も自由度が６なので６点くらいで行けるかなと思いました。
ただ、複雑な形状（例えば、回転前においても６点では一意に決まらない形状）であっても、平行移動及び回転移動の自由度は６になります。そのような場合は、６点では決まらないように思います。
何か前提がおありなのだと思いますが、どのような形状であれば６自由度の回転＆移動を６点から算出することができると言えるものなのでしょうか。

回答No.1

alice_44

３点から円を決めるとき、３点が一直線上にあってはダメなのですが、
そういう細かいことを問わないならば…

標準形 AX^2+BY^2+CZ^2=0 に回転と平行移動を施すと、楕円錐面は
Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Iz+J=0 と表すことができます。
これを A～J の方程式と見て、
比 A:B:C:D:E:F:G:H:I:J が一意に決まるようにするには、
(x,y,z) を 9 個代入して、１０元９連立一次方程式にすればよいです。

答えは９点。ただし、前述のとおり、
任意の９点を与えると、楕円錐にならない場合もありますが。

お礼

式をご提示頂いたのが非常に参考になりました。

ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2eyz+efzx+2gx+2hy+2iz+2j=0
(x,y,z)(a,d,e;d,b,f;e,f,c)(x,y,z)^t+2(x,y,z)(g,h,i)^t+j=0
としたとき、行列M(a,d,e;d,b,f;e,f,c)の固有値とA,B,Cの関係を示せれば、３式立てられそうなのですが、考えがまとまりませんでした。

ご回答下さりありがとうございました。