至急お願いします

質問

次の問題、ずっと考えているのですが、なかなか解法が思いつきません。考え方教えて頂けないでしょうか。

第2項が2、第5項が11である等差数列｛an｝がある。
(2)２つの数列｛bn｝｛cn｝の一般項を
bn＝an＋2 cn＝an－2
とする。b1,b2,b3,…とc1,c2,c3,…を合わせたすべての項を小さい方から順に並べて作られる数列をdnとするとき、d30を求めよ。
(3)(2)の数列｛dn｝について、(上に、2n,下に、K=1)Σdkをnで表せ。

回答No.2

tomochin630 · ベストアンサー

a_nの公差をDとおくと一般項は、

　a_n=a_1+(n-1)D・・・(1)

と書ける。
a_2=2、a_5=11を(1)に代入すると、

　2=a_1+(2-1)D
　5=a_1+(5-1)D

から、D=3、a_1=-1とるので、(1)は

　a_n=3n-4・・・(2)

となる。よって

　b_n=3n-2・・・(3)
　c_n=3n-6・・・(4)

を得る。次に{b_n}と{c_n}の関係を探る為に、

　c_n < b_m < c_(n+1)・・・(5)

を満たすmをnで表す事を考える。
(3)(4)を(5)に代入すると、

　3n-6 < 3m-2 < 3(n+1)-6

変形して、

　0 < 3(m-n)+4 < 3

これを満たす整数(m-n)は、m-n=-1のみなので、(5)を満たすmはm=n-1のみとなり、

　c_n < b_(n-1) < c_(n+1)・・・(6)

の関係を得る。これより{b_n}と{c_n}の関係は、

　c_1 < c_2 < b_1 < c_3 < b_2 < c_4 ・・・

よって、{d_n}の一般項は、

　初項：　d_1 = c1,
　偶数項：　d_(2n) = c_(n+1),
　奇数項(初項を除く)：　d_(2n+1) = b_n

と表せる。よってd_30は、

　d_30 = c_(15+1) = 3・16-6 = 42 ・・・（１）の答え

また、{d_k}の2n項までの和は、初項、偶数項、奇数項ごとに計算し、

　Σ[k=1,2n]d_k = c_1 + Σ[s=1,n]d_(2s) + Σ[s=1,n-1]d_(2s+1)
　　　　　　　　= c_1 + Σ[s=1,n]c_(s+1) + Σ[s=1,n-1]b_s
　　　　　　　　= -3 + Σ[s=1,n](3s-3) + Σ[s=1,n-1](3s-2)
　　　　　　　　= 3n^2 - 5n + 1　・・・（２）の答え

となる。

回答No.1

noname#154783

「a[2] = 2, a[5] = 11 の等差数列」という条件から{a[n]}の一般項は
a[n] = 3n - 4.

(2) したがって，
b[n] = 3n - 2 = c[n+1] + 1,
c[n] = 3n - 6.

b[1], b[2], ... と c[1], c[2], ...を合わせて小さいものから順に並べると，

c[1], c[2], b[1], c[3], b[2], c[4], b[3], ...

すなわち，

{d[n]}の奇数項は
d[1] = c[1],
d[n] = b[(n-1)/2] (n ≧ 3),

{d[n]}の偶数項は
d[n] = c[n/2+1] (n ≧ 2)

となる．

∴d[30] = c[16] = 3×16 - 6 = 42.

(3) n = 1 に対して
Σ[k=1,2n]d[k] = c[1] + c[2] = -3 + 0 = -3.

n ≧ 2 に対して
Σ[k=1,2n]d[k]
= c[1] + Σ[j=1,n-1]b[j] + Σ[j=2,n+1]c[j]
= -3 + Σ[j=1,n-1](3j - 2) + Σ[j=2,n+1](3j - 6)
= -3 + (3n - 4)(n - 1)/2 + (3n - 3)n/2
= 3n^2 - 5n - 1.
この式は n = 1 のときにも成立する．

したがって，任意の正整数 n に対して
Σ[k=1,2n]d[k] = 3n^2 - 5n - 1.

# 考え方といっても単に{d[n]}の最初の数項を具体的に並べてみて，
# パターンを読み取っただけです．
# ひょっとしたらもっと利口なやり方があるかもしれません．