Ｃｎの一般項を求めよ

質問

こんばんは。
この問題は今日学校で出たものなのですが、どうしても解けません。
どなたか解れば回答お願いします。

等差数列Ａｎと、等比数列Ｂｎがあり、Ａｎ＋Ｂｎ＝Ｃｎとするとき
Ｃ１＝３、Ｃ２＝－１、Ｃ３＝１３、Ｃ４＝－９　である。Ｃｎの一般項を求めよ。
というものです。尚、ＡｎとＢｎの初項は違うそうです。
お願いします。

回答No.5

debut · ベストアンサー

例えばこんな計算では。

Ａn＝ａ＋(ｎ－１)ｄ，Ｂn＝ｂｒ^(n-1)とすると、
Ｃ1＝３より、ａ＋ｂ＝３・・・(1)
Ｃ2＝－１より、ａ＋ｄ＋ｂｒ＝－１・・・(2)
Ｃ3＝13より、ａ＋２ｄ＋ｂｒ^2＝13・・・(3)
Ｃ4＝－９より、ａ＋３ｄ＋ｂｒ^＝－９・・・(4)

(1)－(2)より、(１－ｒ)ｂ－ｄ＝４・・・(5)
(2)－(3)より、ｒ(１－ｒ)ｂ－ｄ＝－14・・・(6)
(3)－(4)より、ｒ^2(１－ｒ)ｂ－ｄ＝22・・・(7)

(5)から、(１－ｒ)ｂ＝ｄ＋４を(6)に代入して
ｒ(ｄ＋４)－ｄ＝－14→ｒ＝(ｄ－14)/(ｄ＋４)・・(8)
(6)から、ｒ(１－ｒ)ｂ＝ｄ－14を(7)に代入して
ｒ(ｄ－14)－ｄ＝22→ｒ＝(ｄ＋22)/(ｄ－14)・・(9)

(8)=(9)から、
(ｄ－14)/(ｄ＋４)＝(ｄ＋22)/(ｄ－14)
よって、(ｄ－14)^2＝(ｄ＋４)(ｄ＋22)
これを解いて、ｄ＝２
あとはいろんなとこに代入すれば解決です。

お礼

解りやすい回答有難うございました。おかげさまで助かりました。
自分は解く方針が全くの見当違いでした。
今後今回のことを参考にして励みにしたいと思います。

回答No.4

postro

では、なんやかんや付き解答です。
等差数列Ａｎの初項をa,公差をdとし、等比数列Ｂｎの初項をb,公比をrとすると、
Ｃｎ＝Ａｎ＋Ｂｎ＝a+(n-1)d+br^(n-1)
C1=a+b=3
C2=a+d+br=-1
C3=a+2d+br^2=13
C4=a+3d+br^3=-9
この連立方程式を解く
C2,C3,C4式からC1式を引いてaを消去すると
d+b(r-1)=-4　・・・ア
2d+b(r^2-1)=10　・・・イ
3d+b(r^3-1)=-12　・・・ウ
イ-２*ア と　ウ-３*ア　でdを消去し、それぞれ整理すると
b(r-1)^2=18
b(r-1)^2*(r+2)=0
よってr=-2
あとは芋づる式にb=2 ,d=2 ,a=1
これらをもとのCn式に代入して
Ｃｎ＝1+2(n-1)+2(-2)^(n-1)=2n-(-2)^n -1

お礼

本当に有難うございました。おかげさまで助かりました。
自分は解く方針が全くの見当違いでした。
今後今回のことを参考にして励みにしたいです。

回答No.3

larme001

まず、数列の一般の式を求めるものは、高校の知識では解けるものは大体等差数列か、等比数列に限られます。これ以外の良くあるパターンにもあてはまりそうにない場合は、大抵は何らかの規則性から一般式が簡単に表現できるので帰納法を使う、といったことが多いです。

今回の場合、Cｎの規則性を与えられた条件だけで予測することは不可能です。ただ、An,Bnがそれぞれ等差、等比数列ですので、それらの和である数列は単にそれらの一般解の和として出せそうです。An,Bnをそれぞれおいて連立方程式などから求めるのかな？という発想がでるのですが、この場合未知数がたくさん出でることが予測されます。今回はC1～C4までたくさんあるのでおそらくこの方法でいけるだろうと考えられるでしょう。実際、2の方が解いていますね。

単に質問して、こういう解答です。というのは「なんだ」でおわってしまいますが、キチンとどの様なときにこういった方針で行くとうまく生きそうという感覚をつけましょう。「どうしても解けない。」のならできれば、貴方が考えてみた解答の方針なども述べるべきでした。数学の難しいのは問題からいかに解法を選ぶかという点でもありますので、貴方が今後にたような問題が出たときに、問題文からいかにうまい解法を発想できるかを養ってください。

と、やや質問の内容とはずれた解答になりましたが、「学校で出た問題」ということで、ただ単に解答を質問しているので、一応とければいいとうわけではなく、問題文をキチンと分析する能力を養ってくださいね。ということで述べてみました。今は学校だけかもしれませんが、最終目的は当然受験だと思うので、しっかりそういったことを考えて勉強してくださいね。

お礼

すみません。数学で大切なのは解答にたどり着くまでのプロセスですよね。今度質問するときは確り途中までの式も書きたいと思います。
有難うございました。

回答No.2

postro

等差数列Ａｎの初項をa,公差をdとし、等比数列Ｂｎの初項をb,公比をrとすると、
Ｃｎ＝Ａｎ＋Ｂｎ＝a+(n-1)d+br^(n-1)
C1=a+b=3
C2=a+d+br=-1
C3=a+2d+br^2=13
C4=a+3d+br^3=-9
この連立方程式を解く
d+b(r-1)=-4
2d+b(r^2-1)=10
3d+b(r^3-1)=-12
なんやかんやで
a=1 ,d=2 ,b=2 ,r=-2 よって
Ｃｎ＝2n-(-2)^n -1

補足

ご回答有難うございます。もしよろしければ「なんやかんや」の部分も教えていただけたらなぁと思いますがどうでしょうか。

回答No.1

guide_man

以下の項目を文字に置いて、
連立方程式を解けば良いはずです。

等差数列Anの
初項
公差

等比数列Bnの
初項
公比

頑張ってください。

お礼

有難うございます。頑張ってみます。