∇の計算

質問

今

∇^2ψ+K^2*m^2*ψ=0　のとき

Mψ, Nψを以下のように計算します。

Nψ = ∇×[ar(rψ)] = (ar∂/∂r + aθ∂/(r∂θ) + aφ∂/(r sinθ∂φ))×[ar(rψ)]
=aθ∂(rψ)/(r sinθ∂φ) -aφ∂(rψ)(r∂θ)

ar,aθ,aφはそれぞれ球面座標系の単位ベクトル。

このとき、
m*k*Nψ= ∇×Mψ
　　　 = -ar(∂^2(rψ)/(r^2*∂θ^2) + ∂^2(rψ)/(r^2*sin^2θ∂φ^2)
+aθ ∂^2(rψ)/(r∂r∂θ)
+aφ ∂^2(rψ)/(r sinθ∂r∂φ)
と計算できるのですが
この式を
　　　　= ar*r[∂^2(rψ)/∂r^2 + m^2*k^2(rψ)] ←ここ
+ aθ ∂^2(rψ)/(r∂r∂θ)
+ aφ ∂^2(rψ)/(r sinθ∂r∂φ)

と矢印の部分がまとめられています。
なぜ、あのようにまとまるのかいろいろと計算を試してみましたが導けませんでした。
どなたか、ご指摘くださる方よろしくお願いします。

式がわかりにくくてすみません。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

導くことはできないと思います。

（１）次元が合っていないのでありませんか？

>(∂^2(rψ)/(r^2*∂θ^2) + ∂^2(rψ)/(r^2*sin^2θ∂φ^2)

は r に関して r^(-1) の「次元」をもつのに対して、

>r[∂^2(rψ)/∂r^2 + m^2*k^2(rψ)] ←ここ

は r に関して r^0 の「次元」をもつように見えます。

（２）(cotθ/r^2)∂(rψ)/∂θ　の形の項がどこかに落ちているということはありませんか？

私が間違えているのかもしれませんが・・・

補足

再度計算を練り直してみたところ、

∇ = (∂/∂r)*ar +　（∂/r∂θ)*aθ + (1/r*sinθ∂φ)*aφ
∇^2 = ∂^2/∂r^2 + ∂^2/(r^2∂θ^2 )+ ∂^2/(r^2*sinθ^2∂φ^2)

ここで、∇^2(rψ)+k^2*m^2*(rψ) = 0　より

∇^2(rψ) = ∂^2(rψ)/∂r^2 + ∂^2(rψ)/(r^2∂θ^2 )+ ∂^2(rψ)/(r^2*sinθ^2∂φ^2)
= -k^2*m^2*(rψ)

したがって、最初に解いたarの項の中身は

∂^2(rψ)/(r^2∂θ^2 )+ ∂^2(rψ)/(r^2*sinθ^2∂φ^2) = -k^2*m^2*(rψ)-∂^2(rψ)/∂r^2
-[∂^2(rψ)/(r^2∂θ^2 )+ ∂^2(rψ)/(r^2*sinθ^2∂φ^2)]*ar = [k^2*m^2*(rψ)+∂^2(rψ)/∂r^2]*ar となります。

おそらく、記してあった文献に余計にrが掛けられていたんだと思います。
他の文献にはrは書かれていませんでした。

これなら、納得です。

ありがとうございました。