群の直積について

質問

Z/18Z×Z/24Z
≒(Z/2Z×Z/9Z)×(Z/3Z×Z/8Z)
≒(Z/2Z×Z/3Z)×(Z/9Z×Z/8Z)
≒Z/6Z×Z/72Z
（≒は同型の意味で使いました）

は正しいですか？

1行目→2行目，3行目→4行目は中国剰余定理より正しいと思いますが，2行目→3行目で直積を入れ替えています．これも問題ない操作でしょうか？

一般にX×Y≠Y×X（≠は集合の意味での）ですが，上で「Z/9Z×Z/3Z」の順序を入れ替えているのは，"同型"という意味で同じということになるのですか？

この辺りが混乱してしまったので教えてください．

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

同型です。

（１）　一般に、XとYを任意の群とするとき、X×YとY×Xは、同型です。これは、X×Yの元 (x,y)にY×Xの元 (y,x)を対応させる写像が同型であることから、明らかです。

（２）　また、Zも任意の群とするとき、結合法則が成立します。すなわち、(X×Y)×ZとX×(Y×Z)も同型です。これは、((x,y),z)に(x,(y,z))を対応させる写像を考えれば、明らかです。

ご質問の、2行目→3行目の変換は、（１）と（２）により正当化されます。

（３）　（１）と（２）は、いわゆるabstract nonsenseです。すなわち、集合、多元環、位相空間、可微分多様体、確率空間など、任意のカテゴリーでの直積について、可換性と結合法則が成立します。

なお、集合として、X×Y≠Y×Xかも知れませんが、それでも、X×YとY×Xは同型です。集合における「同型」とは、全単射が存在すること、すなわち、濃度が等しいことを意味します。

回答No.1

koko_u_u

同型かどうかは、同型写像が存在するかどうか、だけで決定します。

しかし、中国剰余定理での同型と、直積の順序を入れ替えた時の同型では「自然に同型」かという点で若干の差があります。
そこは経験で補うしかないので、まずは Z/18Z×Z/24Z と Z/6Z×Z/72Z の同型写像を具体的に求めるのがよいでしょう。