変数分離法について

質問

(∂u/(∂x∂y))-u=0
答えは、
u=c*exp[k*x+y/k]
だそうです。

x*(∂u/(∂x∂y))+2*y*u=0
答えは、
u=c*(x^k)*exp[-(y^2)/k]
だそうです。

それぞれ解き方を教えてください。
お願いします。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

回答： ＃１　の続き．

x*(∂^2u/(∂x∂y))＋2*y*u＝0　について，

u＝X(x)*Y(y) と置けば，与式は，
x*X'*Y'＋2*y*X*Y＝0
と書ける．変形すると，
x*(X'/X)*(1/y)*(Y'/Y)＝－2
となる．ここで，A, B を定数として，

x*(X'/X)＝A
(1/y)*(Y'/Y)＝B
A*B＝－2

とおく．まず，x*(X'/X)＝A　を解くと，C を定数として，

x*(X'/X)＝A
(X'/X)＝A/x
[log(X)]'＝A/x
log(X)＝A*log(x)＋C
log(X)＝log(x^A)＋C
X＝exp[log(x^A)＋C]
X＝exp(C)*x^A

となる．一方，(1/y)*(Y'/Y)＝B　は，D を定数として解くと，

(Y'/Y)＝B*y
[log(Y)]'＝B*y
log(Y)＝(1/2)*B*y^2＋D
Y＝exp[(1/2)*B*y^2＋D]
Y＝exp(D)*exp[(1/2)*B*y^2]

を得る．したがって，u は，
u＝X(x)*Y(y)＝exp(C)*x^A*exp(D)*exp[(1/2)*B*y^2]
これを変形すると，
u＝exp(C)*exp(D)*x^A*exp[(1/2)*B*y^2]

ここで，c＝exp(C)*exp(D) と置けば，u は，
u＝c*x^A*exp[(1/2)*B*y^2]
となり，更に，A*B＝－2　から，B＝－2/A であるから，u は，
u＝c*x^A*exp[(1/2)*B*y^2]＝c*x^A*exp[(1/2)*(－2/A)*y^2]＝
＝c*x^A*exp[(－1/A)*y^2]＝c*x^A*exp[－(y^2)/A]

であるから，u　が，
u＝c*x^A*exp[－(y^2)/A]
と得られる．したがって，定数 A を k に書き換えれば，

u＝c*(x^k)*exp[－(y^2)/k]

となる．　　（以上）

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Knotopolog

(∂u/(∂x∂y))－u＝0 は記述方法が間違っています．これは，２階の偏微分方程式なので，
(∂^2u/(∂x∂y))－u＝0 と書かなくては意味が通じません．

(∂^2u/(∂x∂y))－u＝0　についての解法．

u は，x, y の関数です． u＝u(x,y).

u＝X(x)*Y(y) とおく．これにより，∂^2u/(∂x∂y) は，
(∂^2u/(∂x∂y))＝X'(x)*Y'(y)，　　　X'(x)＝dX/dx，Y'(y)＝dY/dy
となる．つまり，X'(x) と Y'(y) は，いずれも常微分である．
したがって，与式：(∂^2u/(∂x∂y))－u＝0 により，(∂^2u/(∂x∂y))＝u なので，

X'(x)*Y'(y)＝X(x)*Y(y)　と書ける．これを
X'*Y'＝X*Yと書き直して変形すると，
(X'/X)*(Y'/Y)＝1 ここで，A, B を定数として，

(X'/X)＝A
(Y'/Y)＝B
A*B＝1
とおく．(X'/X)＝A　と　(Y'/Y)＝B　を解くと，C, D を積分定数として，
log(X)＝Ax＋C
log(Y)＝By＋D
である．したがって，

X＝exp(Ax＋C)
Y＝exp(By＋D)

を得る．これらの式を用いて，u は，
u＝X*Y＝exp(Ax＋C)*exp(By＋D)
となる．この u は，以下の様に変形できる．

u＝exp(Ax＋C＋By＋D)＝exp(Ax＋By＋C＋D)＝exp(C＋D)*exp(Ax＋By)
u＝exp(C＋D)*exp(Ax＋By)

ここで，A*B＝1　から　B＝1/A なので，u は，
u＝exp(C＋D)*exp(Ax＋y/A)
となり，更に，exp(C＋D)　を　exp(C＋D)＝c と置けば，u は，

u＝c*exp(Ax＋y/A)

を得る．A を k に書き換えれば，答えの，u＝c*exp[k*x＋y/k]　となる．

----------------------------

x*(∂^2u/(∂x∂y))＋2*y*u＝0　については，計算中です．
u＝X(x)*Y(y) と置けば，解けるかも知れません．