変数分離法

質問

∂u/∂x-∂u/∂y=0
答えは、
u=c*exp[k(x+y)]
だそうです。

∂u/∂x+∂u/∂y=(x+y)u
答えは、
u=c*exp[(1/2)*(x^2+y^2)+k(x-y)]
だそうです。

解き方を教えてください。

回答No.2

kiyos06 · ベストアンサー

1.1)w=x+y
z=x-y
とする。
1.2)∂/∂x=∂/∂w*∂w/∂x+∂/∂z*∂z/∂x
を使って変数変換する。
1.3)∂u/∂x-∂u/∂y=2∂u/∂z
1.4)∂u/∂z=0
1.5)u=f(w)
f:任意関数。

2.1) (1.1)と同じ
2.2) (1.2)と同じ
2.3) ∂u/∂x+∂u/∂y=2∂u/∂w
2.4) 2∂u/∂w=wu
2.5) 2log(u)=1/2 * w^2 + f(z)
f:任意関数

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Ae610

取り敢えず　∂u/∂x-∂u/∂y = 0　・・・だけ！

偏微分方程式(1)で、或る初期条件が与えられている場合は任意関数を決定出来るが、この場合、初期条件として、特に何も書いていないから任意関数を使って表現されるべきと思う・・・！

(1)の場合、特性曲線は
dx/1 = dy/-1 = du/0　・・・と表せるから
解はu =α、x+y = β
よって任意関数fとして
u = f(x+y)

∂u/∂x+∂u/∂y=(x+y)u・・・も同様にして解くと
u = exp{1/2・(x^2 + y^2)}・f(y-x)