変数を置換える微分方程式について
お世話になります、
以下の考え方で問題がないかご教授願います。
(どうして大学のテキストは解答がついてないのでしょうか、成否の確認ができません…)
問題：y´=y^2/(xy-x^2)
最初は変数分離で一瞬で解けると思ったのですが、分母がネックになりました。
右辺を1変数に置き換えられないか考えて、分子分母に1/(xy)を乗じます。
y^2/(xy-x^2)=(y/x)/(1-x/y) において、
z=(y/x)としてz^(-1)=(x/y),dz/dy=1/xよりdy=x dz
∴ z/(1-z^(-1))=(x・dz)/dx 両辺を逆数化して
(1-z^(-1))/z=dx/(x・dz)
∫(1-z^(-1))/z dz=∫1/x dx
log|z|+z^(-1)+C=log|x| <Cは積分定数です>
つまり、log x=log z+z^(-1)+C
log x=log z+log e^z^(-1)+log e^C
log x=log{ze^z^(-1)e^C}
x=ze^z^(-1)C´ <e^C=C´とする>
x=(y/x)e^(x/y)C´
一応、微分は無くなったので正解となるのでしょうか？
お世話になります。
お礼
詳しい解説ありがとうございます。 わかりました。