文字が多い式の解き方

質問

文字が3つくらい入った式があって、条件式があったりして、
～～を導け、～～の最大値はいくらか.
などという問題があると思いますが、(わかりにくくてすみません)
こういう問題の時は条件式を利用して、文字を出来るだけ減らして考えるのがパターンなのかと思っていたのですが、
それをすると返って解きにくくなる場合もあると思います。
(http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=641079という質問をして、教えてもらったのですが、この問題は文字を消去しないで解いたほうがよいようです。ぼくはｚを消去して解いたんですが、二十行くらいのわかりにくい長い解答になってしまいました)

どのような問題は文字を消去するとうまくいき、どのような問題はうまくいかないのか、それを見分けるコツみたいなのがあったら教えていただきたいです。
すごくわかりにくくなってしまいました、ごめんなさい。
よろしくお願いします。

回答No.5

eatern27 · ベストアンサー

問題にであったら、できるだけ、多くの解き方を考える。
(一つ思い浮かんだからといって、すぐに解き始めない)

その解き方の中からどれが一番簡単かを考える。

例えば、「x+y+z=1/x+1/y+1/z=1の時、x=1 or y=1 or z=1を示せ」
この問題でstripeさんは
(x-1)(y-1)(z-1)=0を示せばいい事に気がついていたんですよね?なのに、ｚを消去して解いたのですね?
冷静に考えてみましょう。
(x-1)(y-1)(z-1)=0にはzが含まれています。だから、実際に解く前に、ｚを消去しても、再びzを復活させなければならない事が分かります。ｚを消去しても示せますが、二度手間です。
それに、zを消去する場合、x+y+z=1,1/x+1/y+1/z=1の一方をz=・・・の形にして、それを他方に代入する事になります。凄く、汚い式になりそうな予感がします。

この辺りからｚを消去するよりは、別の方法がよさそうというのがわかります。

こんな感じで、この解き方をすると、途中計算はこうなる、というのを簡単に考えてみて、その中から、一番簡単そうな解き方を選ぶようにするのが、いいと思います。

お礼

どうもありがとうございます。

＞問題にであったら、できるだけ、多くの解き方を考える。
(一つ思い浮かんだからといって、すぐに解き始めない)

いきあたりばったりなことがよくなるので、これは早速実行したいと思います。

＞この辺りからｚを消去するよりは、別の方法がよさそうというのがわかります。
そうですねー、そうやっていわれるとなんでｚを消去したのか・・・わざわざ面倒なことをしてたんですね。
そういうこと考えてから問題を解く癖をつけたいともいます。
参考にさせていただきます。

回答No.6

grothendieck

stripeさん、こんいちは。特別な場合だけに通用するやり方を考えることも意味のあることかもしれませんが、数学を応用する立場からは一般性のある方法がほしい所です。拘束条件付き多変数関数の最大値(あるいは極値)を求めるためには一般には変数を増やすのが良いとされていると思います。すなわち、ラグランジュの未定乗数法です。ご存じと思いますが、簡単に復習しておくと、
　g(x,y) = 0
という拘束条件の下で
　z = f(x,y)
の極値を求める時に
　z = f(x,y) - λg(x,y)
として
　∂z/∂x = ∂z/∂y = ∂z/∂λ =0　…(1)
から極値を求める方法でした。なぜこれで極値が求まるのかは私は次の様に説明することにしています。x-y平面上にf(x,y)=kという曲線群とg(x,y)=0の曲線を書いてみると、(1)の条件はfとgの勾配ベクトルが平行になっているということと、g(x,y)=0を意味します。従って(1)が成り立っている時、g上で微小な変位を考えるとfの勾配ベクトルと垂直なので、１次の変化はないことになり、極値ということになります。なぜラグランジュの未定乗数法の方が変数を消去するより簡単なのかは、曲線を局所的に線形に近似して考えているからではないでしょうか。消去がよほど簡単にでき、簡単な形になる場合以外はラグランジュの未定乗数法が良いと思います。

お礼

ありがとうございます。
＞ラグランジュの未定乗数法です。ご存じと思いますが、
大学でやることでしょうか、初めて聞きました(＾＾；
大学に入ったら、また読み直したいと思います。

回答No.4

mirage70

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=521688
No521688
03-04-13 11:34に同一の質問があります。
No2が正解かはともかくとして、参考にしてください。

お礼

同じ問題があったんですね！
有名な問題なのかなー。
ありがとうございました。

回答No.3

nikorin

いろんなパターンがあるので一概にはいえません。
一つの問題に対し複数のアプローチを試し、よりエレガントな解答を追及することです。
（はじめはごり押しで結構。だんだん解答を洗練していく。）
そうやって経験を積むうちに数学的なセンスや直感を磨くことができると思います。

お礼

＞一つの問題に対し複数のアプローチを試し、よりエレガントな解答を追及することです。
（はじめはごり押しで結構。だんだん解答を洗練していく。）

色んな角度から問題を見て、解くってことですかー。
かなり参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

stone_wash

化学系大学の人間ですｗ
URLの問題なら私はなんとなくわかります。（自慢じゃないよ）

やはり、コツとかではなく経験じゃないかなと思います。実際解くとき別段何をどうこうしてと考えているよりは、とりあえず手をさくさく動かして”やっぱできた”みたいな感じで解いています。

URLの問題が解ける解けないは、頭の回転うんぬんより、やはり経験ですね。おそらく受験を終えている私の方が解いた問題の絶対数が多いから”見た事ある”とか”たぶんこうやる”といったようになんとなく解けてしまうのでしょう。

実際私の高校では、このあたりの式変形とかは”力”といっていてました。
当然、あとあとテクニックとかも出てきましたよｗ
高校数学はある程度問題解かないと、やっていけないので、がんばって！

お礼

＞コツとかではなく経験じゃないかなと思います。

ハイ、たくさん問題を解くようにします。
ありがとうございました。

回答No.1

liar_adan

対称式のときは、文字を消去しない方法を先に考え、
対称式でないときは文字を減らす方法を先に考えるといいと思います。

対称式というのは聞いたことがあるでしょうか。
x,y,zのどれも平等になっている式です。
たとえば
xyz
x+y+z
xy+yz+xy
およびそれらの和、積、などです。

たとえば問題の質問で使われている式も対称式です。
対称式をあれこれ計算しても、出てくるのは対称式なので、
その過程で式が簡単になることがあります。

お礼

ありがとうございます。
＞対称式のときは、文字を消去しない方法を先に考え、
対称式でないときは文字を減らす方法を先に考えるといいと思います。

これを覚えておきたいとおもいます。
参考にさせていただきます。