証明をお願いします

質問

問)nは自然数とする。
対偶を考えて、次の命題を証明せよ。

2
ｎ＋１は偶数⇒ｎは奇数

と、言う問題なんですが

お願いします!!
数学の証明は苦手で…いつまでたってもプリントが真っ白で困っています(泣

ちなみに初投稿です
よろしくお願いします！

回答No.5

nattocurry

対偶が
nは偶数⇒n^2＋1は奇数
であるということは解っているようですね。

nは偶数なので、2mと置き換えることが出来ます。
n^2=(2m)^2=4m^2=2(2m^2)
nが偶数なら、n^2も偶数です。
nが偶数なら、n^2+1は奇数です。

理屈はこんな感じです。
これを、数学の問題の解答としてどのように書くのが適切なのかは、現役から20年以上も遠ざかっているので忘れました。

回答No.4

178-tall

>2
>ｎ＋１は偶数⇒ｎは奇数
↑ｎの上に書いた2は ｎが二乗…

直感的には、
　n^2 + 1 は偶数 ⇒ n^2 は奇数 ⇒ n は奇数
ですね。

「数学的」には、どこに難があるのでしょうか？

補足

あ、二乗はそう書くんですか
ありがとうございます

んー
たぶん対偶は、そこを勉強していたから、わざわざ『対偶を考え』となっているだけやとは思うんです

nは偶数⇒n^2＋1は奇数
↑とゆうか、対偶はさすがに私にも分かりますよ？笑
でも、なぜnが偶数ならばn^2に１を足すと、奇数になるのかを証明(文章で説明『ゆえに～』とか)しなさいと、言われると私には難しいんですよ。

回答No.3

Tacosan

「対偶を考えて、次の命題を証明せよ。」って書いてあるんだったら, まず対偶を書こう. すべてはそこからだと思っていい.
ちなみに「対偶を書く」こと自体は証明とは関係ないので, 「証明が苦手かどうか」にかかわらずできるはず. できないんだったら教科書を読み返すこと.

回答No.2

htms42

問題の意味がよく分かりません。
何をせよと言っているのでしょうか。

前提となる「偶数」、「奇数」がどのように定義されているのかにもよるでしょう。
定義によっては対偶も何も関係なしに出てくることでしょう。

まず、「偶数」とはなにか、「奇数」とは何かを示すことが先でしょう。

＃１にあるように偶数をｎ＝２ｋと書くということが認められるのであれば
ｎ＝２ｋもｍ＝２(ｋ＋１）も偶数です。
間にあるｎ＋１＝ｍ－１は偶数ではありません。
偶数と偶数でない数字が１つずつ交代して出てきます。
偶数でない数字を「奇数」と呼ぶのでしたら偶数と奇数が交代しながら出てきます。
対偶を使う必要はありません。

「ｎ＋１は偶数⇒ｎは奇数」の対偶は
「ｎは奇数でない⇒ｎ＋１は偶数でない」です。
＃１では対偶を「ｎは偶数⇒ｎ＋１は奇数」としています。
これは「奇数でない数字は偶数である、偶数でない数字は奇数である」ということを使っています。
偶数が「ｎ＝２ｋ」であることと、「偶数でない数字は奇数である、奇数でない数字は偶数である」ということを認めるのであればなぜ対偶を使って証明しなければいけないのでしょうか。

補足

えっと～？？
…プリントにはそう書いてあるんで…何故かは、よく分かんないです。すいません

とりあえず
torisugariAさんみたいな答えが、すごく分かりやすかったです。

回答No.1

torisugariA

対偶を考えて証明するんですよね。

ということは、まず「ｎ＋１は偶数⇒ｎは奇数」の対偶を考えます。
これは「ｎは偶数⇒ｎ＋１は奇数」になります。

ｎは偶数なので、ｋを整数とすると、ｎ＝２ｋと表せる。
ｎ＋１＝２ｋ＋１となり、偶数に１を足しているので奇数である。
したがって、「ｎは偶数⇒ｎ＋１は奇数」は成り立つ。
ゆえに、対偶である「ｎ＋１は偶数⇒ｎは奇数」も真である。

こんな感じでいかがでしょうか？

補足

あ！すいません!!

2
ｎ＋１は偶数⇒ｎは奇数

↑ｎの上に書いた2は
ｎが二乗と言う意味で書きました。
すいません分かりづらくて;;;

また
答えて頂ければ嬉しいです