平均誤差についてです

質問

600個の0を基準とし、±10の幅を持った正規分布に従った数があります。
ここで平均誤差をΔを以下の組の平均の二乗平均の平方根とする。
１つずつ分けた６００組、５つずつ分けた１２０組、同様にして１０、２０、３０、４０、５０、１００ずつに分けた場合それぞれを考える。

例えば５つずつ分けた１２０組の時、選んだ５つの数の平均を出しそれを２乗したもの１２０組でさらに平均をとったものを５つに分けた時のΔとします。

この時Δはｍずつで分けた時ｍの平方根に反比例するということなんですが、この証明をどこから手をつけていったらよいかわかりません。

文脈から読み取れる式はとりあえず書き出してみたのですが

よろしくお願いします

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

正規分布には、変数xiが平均μi、標準偏差σiの正規分布に従うとき、ciを定数として

X = c1x1+c2x2+c3x3+・・・・

は

平均　<X> = c1μ1+c2μ2+c3μ3+・・・・
分散　σX^2　=　c1^2 σ1^2 + c2^2μ2^2 + c3^2μ3^2+・・・・
(分散は標準偏差の二乗)

である正規分布に従うという性質があります。

ここで、xの5個の平均<x>とはどういう量かを考えると

<x> = (x1+x2+x3+x4+x5)/5 = (1/5)x1 + (1/5)x2 + (1/5)x3 + (1/5)x4 + (1/5)x5

となるので上の関係にあてはめると

c1 = c2 = c3 = c4 = c5 = 1/5

であり、x1～x5までおなじ量なので当然おなじ正規分布に従い

σ1 = σ2 = σ3 = σ4 = σ5 = σ

です。したがって<x>の分散は

σ<x>^2 =　(1/5)^2 σ^2 + (1/5)^2 σ^2 + (1/5)^2 σ^2 + (1/5)^2 σ^2 + (1/5)^2 σ^2 = (1/5)^2 σ^2 × 5 = (1/5) σ^2

したがって標準偏差は

σ<x> = (1/√5) σ

m個の平均なら上の5をｍに置き換えればよいので

σ<x> = (1/√m) σ

お礼

回答ありがとうございます。
大変わかりやすかったです。

できれば最初に書かれている性質について詳しく知りたいのですが、参考になるようなものがあればよろしくお願いします。

回答No.3

hitokotonusi

>X1=(x1+x2+…+x5)/5 → σX1=σ/√5
>X2=(x6+x7+…+x10)/5 →　σX2=σ/√5

こういうことではないのです。
ノーテンションを変更して5個の平均という意味でX5を使い、

X5(1)=(x1+x2+…+x5)/5
X5(2)=(x6+x7+…+x10)/5
・・・
X5(120)=(x596+x597+…+x600)/5

とします。このときにX5(i)の分布を調べるとσ/√5になっているという意味です。
つまり、

<X5> = E(X5) = [ X5(1)+X5(2)+・・・+X5(120) ]/120
σ<X5>^2 = V(X5) = [ (X5(1)-<X5>)^2 + (X5(2)-<X5>)^2 + ・・・+(X5(120)-<X5>)^2 ]/120
→ (σ/√5)^2　　(120 →　∞のとき）

という意味です。120もあれば、おそらく十分近い値にはなっていると思いますが。

回答No.2

hitokotonusi

平均をE(X)、分散をV(X)で書くとします。

X = Σci xi

にたいして

E(X) = E(Σcixi)=ΣciE(xi)

はすぐに出ます。分散はその定義から

V(X) = E( (X-E(X))^2 ) = E( (Σcixi - ΣciE(xi))^2 ) = E( (Σci[xi-E(xi)])^2 )

ここで、

(Σci^2[xi-E(xi)])^2　= Σi ci^2 [xi-E(xi)]^2 + Σij cicj [xi-E(xi)][xj-E(xj)]

ですが、各xiが全て独立の場合、右辺第二項は平均を取ると０になります。したがって、

V(X) = E( Σi ci^2 [xi-E(xi)]^2 ) = Σi ci^2 E( [xi-E(xi)]^2 ) = Σi ci^2 V(xi)

この関係は正規分布でなくても各試行が独立であれば成り立ちます。

補足

解説ありがとうございます。

教えて頂いたことを使ってみたところまだ少し気になることがあるので解説していただくとありがたいです。

１.選んだ６００個のデータをx1～x600として簡単のために分けるデータをx1から順に取るとしたところ５つずつ分けるときは解説して頂いた通りにσ<x>を使わせていただくと

X1=(x1+x2+…+x5)/5

文脈からは、

σ<x>^2=X1^2

となり

Δ={(X1^2)+(X2^2)++(X120^2)}となって

X1=(x1+x2+…+x5)/5 → σX1=σ/√5
X2=(x6+x7+…+x10)/5 →　σX2=σ/√5

以下同様としてX120=(x596+…+x600)求めると

Δ=120σ/√5となるのですが、

同様にして10ずつ分けると
Δ=60σ/√10

となって分子のほうまで動いてしまい反比例の式になりませんでした。

どこかミスがあったらご指摘お願いします。