まずは純粋に質問に答えます。
＞調があると音階が変わると書いていました。これって本当なのですか？
「調が『変わる』と『階名』が変わる」（少なくとも、後述のマンガにはそう書いてあります）だと思いますが、本当です。
もちろん、音階も変わります。
＞このマンガ本にはフラットがあるところがファだと書いているので、変ニ長調ではドのところがシになるということなのですか？
そういうことです。
マンガというのは、「ドラえもんの音楽おもしろ攻略 楽ふがよめる」というものでしょうか？
マンガの学習本をそれしか知らないので、その前提で話を進めます。違っていたらお知らせください。
p86から「音名と階名」について描いています。そこからもう一度読み直すと良いです。
まずはここで音名と階名について理解します。書いてあるのは、音名＝固有名詞 階名＝音の役割 です。
つまり、「ドレミファソラシ」と言うのが階名で、「ハニホヘトイロ」というのが音名とあります。
階名で言うと、「ハニホヘトイロ」も「トイロハニホ ヘ♯」も「ドレミファソラシ」となります。
ピアノで上の２つの音名の音階を弾いてみてください。どちらも「ドレミファソラシ」と聞こえると思います。
さて、p158を見ると、（４）で「♭の位置が「ファ」」とあります。この例では♭１個です。
♭が「ロ」の位置についていますね。音名と五線の関係はp85を見ながら確認してください。
これで、ロ（♭が付いているので「変ロ」）＝ファということが分かります。
後は下に数えていけば、
イ＝ミ
ト＝レ
ヘ＝ド
ホ＝シ
ニ＝ラ
ハ＝ソ
となり、「ハ」の音符（五線の下にある、串刺しになった音符）が「ソ」となることが分かります。
更に、「ド」がリーダーだとp134にあります。このリーダーにあたる音の音名を用いて、「ヘ長調」と言うわけです。
ではp158の（５）を見ます。これは♭5個ですね。
さっきと同じように、一番右の♭を見ると、「ト」の位置についています。
これでト（♭が付いているので「変ト」）＝ファということがわかりますので、同じように数えて、
ヘ ＝ミ
変ホ＝レ
変ニ＝ド
ハ ＝シ
となり、「ハ」の音符が「シ」となることが分かります。
【これが、質問の「変ニ長調ではドのところがシになるということなのですか？」ということです。】
「ド」のところではなく「ハ」のところと言い換えればこの説明は分かりやすいのかなと思います。
更に、「ド」＝変ニがリーダーなので、♭5個は「変ニ長調」と言うわけですね。
仰る「ド」のところというのは、『ハ長調』で言う「ド」のところということなんです。
「ハニホヘトイロハ」と弾くと「ドレミファソラシド」と聞こえます。つまり、ハ＝ドとなっているわけです。
このように、ハ長調では「ハ＝ド」（４）のヘ長調では「ハ＝ソ」、（５）の変ニ長調では「ハ＝シ」というように
それぞれ音名「ハ」に対応する「階名」が違っています。
【これが、質問の「調が『変わる』と『階名』が変わる」ということです。】
音階が変わると考えるなら、ハ長調は「ハニホヘトイロハ」、ヘ長調は「ヘトイ ロ♭ ハニホヘ」というように、
調によって「ドレミファソラシド」と聞こえる音の並び＝音階が変わっている、ということです。
分かりましたでしょうか？
シャープの場合は、一番右のシャープを「シ」と考えて、同じように考えてください。
理解すれば簡単なことですが、これが何故混乱するか。この説明に混乱するかもしれませんので、さらっと流してください。
私達は、ト音記号の書かれた楽譜上の「一点ハ」の音符（五線の下にある、串刺しになった音符です）を
「ド」と読むことに慣れてしまっています。
学校教育では、相対音感をつけるために階名・移動ドを用いるようになっているのですが、
（きらきら星を何調で歌っても「ドドソソララソ…」と歌うということです。）
ハ長調（ハ＝ド）を多くすること、その流れでドレミ…と使いやすいこと、ピアノ教室の兼ね合いなどから、
上記のように、階名を音名のように用い、固定ドで覚えてしまっています。
ですので、ピアノをパッと見て、黒鍵が２つ並んでいる方の左下の白鍵が「ド」と覚えてしまい、
それがソだのシだのになると言われても、ソはドから５度上がったところで、シはドの左隣だから
おかしいじゃん！となるわけです。
楽譜も同じで、五線の下の串刺しの音はドで、下から２番目の線の音はソだろ！となるわけです。
このドラえもんのマンガを監修した八木正一先生は、教科書の編纂にも関わる音楽科教育の権威です。
そのため音楽科教育に忠実に階名・音名を用いており、書いてあることは正しいです。
ただし、こう書かれると難しく感じますね。
長文失礼いたしました。
お礼
分かりやすいご回答ありがとうございます。 マンガというのは、「ドラえもんの楽譜が読める」で合っています（省略してしまってすいません） つまり、変ニ長調ではハ長調のドの部分（ハ）がシ（ロ）になるということですよね（間違っていたら馬鹿ですね） こんな質問に答えてくださってありがとうございます。