確率分布の定数決定

質問

こんばんは、まったく計算方法がわかりません・・・よろしくお願いします。

今、以下の問題を解いています。

離散型確率変数Ｘの取りうる値が｛1,2,.....｝で与えられるとき、
以下の確率関数（分布）f(k)=P(X=k)の定数Ｃを決定せよ。

（１）　f(k)=C/(k*a^k)　（a>1）
（２）　f(k)=(C*b^k)/k!　(b>1)

どちらも、(シグマの正しい記法がわかりませんでした。すみません。)
　　Σ[k=1to inf]f(k) =1

として、Ｃについて解くだけだと思ったのですが、（１）,（２）とも計算方法がわかりません。
久しく数列およびシグマ記号を使っていなく、恥ずかしながらまったくてがつかないのです。

高校数学かな？と思って調べてみましたが、公比をかけたものを～というのも違いますよね。

そもそものアプローチすら違っているのかと考え出したら完全に嵌まってしまい、
質問させていただくことになった次第です。よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

数学的な考察は、A No.1 で完了　…という意味です。
後は、大学で習う算数ですが、

テイラー展開
e^x = Σ[k=0…∞] (x^k)/(k !)
log(1+x) = Σ[k=1…∞] { (-1)^(k+1) x^k }/k
より、
Σ[k=1…∞] 1/(k a^k) = -log(1+(-1/a)) = log(a/(a-1))
Σ[k=1…∞] (b^k)/(k !) = (e^b) - 1
となります。
これを、先の式へ代入する。

お礼

テイラー展開でしたか。

完全に忘れさられていました。自分で調べようとしても出てこなかったことがお恥ずかしい。

ご丁寧にありがとうございました。

回答No.1

alice_44

どちらも、C が Σ の外へ括り出せますから、

1 = Σ[k=1…∞] f(k) = C Σ[k=1…∞] 1/(k a^k)
より C = 1/{ Σ[k=1…∞] 1/(k a^k) }。

1 = Σ[k=1…∞] f(k) = C Σ[k=1…∞] (b^k)/(k !)
より C = 1/{ Σ[k=1…∞] (b^k)/(k !) }。

でオシマイです。

補足

ご回答ありがとうございます。
Cは定数でkに無関係ですからくくりだせますね。

オシマイということは、このシグマ（無限級数というのでしたか？）はこれ以上整理できませんか？

シグマをどうすればよいか苦悶しております。
数学的見方ではないですが、設問が２つあることからも、それぞれを整理するのだと思うのですが・・・

ご回答の先のシグマがわかりません。お手数ですがよろしくお願いします。