関数をブラックボックスや写像で考える事について

質問

関数は、よくブラックボックスや写像を用いて考えられます。
ブラックボックスと写像は似ているので、この質問ではブラックボックスを引用します。

例えば、関数y=2x+1があるとします。
この式をブラックボックスを用いて考えるとき、fという箱があり（このとき、y=2x+1より、fは2x+1という機能を表していますね。）、この箱にxという値を入れ、yつまり2x+1という値が出てくる図がイメージされますね。
だからy=2x+1をブラックボックスで考えるとき、xという値をfに入れたらy=2x+1が出てきて、それをy=2x+1という式で表しているんだなあと考えられ、つまり、y=2x+1をブラックボックスで考えるなら、yは変換後の値だと見て分かりますが、2x+1もx=xのときに出てきた値です。その出てきた値をyと置いて、y=2x+1という式になると思いますから。
そして、xは何でもいいから、2x+1はまた、何らかの値を入れたときにyという値がとるルールを示しています。
すなわち、y=2x+1の2x+1はx=xのときの値であり、yのルールでもあります。値かつルールです。

しかし、y=2x+1において、この2x+1は機能を示しており、yは2x+1という機能が、ある値を2倍して1を加えて変換された値だというようにも捉えらると思います。上で述べたように、2x+1は確かにfという機能を表します。
しかし、ブラックボックスや写像を用いて関数を考えるとき、その式がy=2x+1なら、このときの2x+1はx=xのときの変換後（対応後）の値であり、yのルールです。
機能はfであり、確かに2x+1がfです。だから、y=2x+1という式の中の2x+1を機能というのは間違いで、y=2x+1の仲立ちをしているfが機能を持っているのだと思います。y=（xの式）においてfは書かれてませんが、yと（xの式）の間に隠れていると考えて。
y=（xの式）において、（xの式）は機能と言えるのでしょうか?

まあ自分はy=（xの式）における（xの式）は機能ではないがルールではあると言ってます。
しかし機能は直接それが働きかけるのであり、ルールは働きかけるのではないと思いました。

重要な事ではないと思いますが、とても長くなってしまいました。
よければ回答お願いします。

回答No.6

boiseweb · ベストアンサー

2x+1 であれ f であれ，「式」とか「記号」そのものが何らかの機能を持つとか動作をするとかいう考えは，捨てるべきです．
式そのものがエンジンとして動作して，それが関数という箱に部品として装備されているかのような想像をすべきではありません．箱はあくまで中身が見えないもので，式はその箱の挙動を記述するために用いる表現手段のひとつです．

関数というのは，何かを入れたら何かが出てくる「箱」です．
f という記号は，箱につけられた「名前」というか「ラベル」です．
f(x)=2x+1 という式は，箱の挙動がわかるように書かれた「説明書」です．

「何かを入れたら何かが出てくる」という機能を持つのは，あくまで「箱」です．
「ラベル」や「説明書」が機能を持つのではありません．

ドアのついた金属の箱があります．
この箱に，冷たいごはんを入れたらあつあつのごはんが出てきます．また，冷たい牛乳を入れたらホットミルクが出てきます．
つまり，この箱は「機能を持つ箱」です．…(1)
ところで，目の前にあるこの箱を「この箱」と呼ぶほかないのでは不便です．そこで，この箱に「電子レンジ」という名前を与えて，「電子レンジ」と書いたラベルを箱に貼ります．…(2)
また，箱の外見だけでは，それがどんな働きをする箱かわかりません．そこで，
『電子レンジに冷たいXを入れると温かいXが出てきます（ただし，Xは食品の名前を表します）』
という「電子レンジの説明書」を書いておきます．…(3)

さて，冷たいごはんを温かいごはんに変換する機能を持っているのは
(1) 箱
(2) ラベル
(3) 説明書
のどれですか？ 言うまでもなく「箱」です．
「ラベル」にどう働きかけても，冷たいごはんはあつあつごはんに変換されません．
また，「説明書」の文の X に「ごはん」という食材の名前を当てはめても，単に
『電子レンジに冷たいごはんを入れると温かいごはんが出てきます』
という説明文ができるだけで，茶碗に盛った冷たいごはんが温かいごはんに変わるわけではありません．

f(x)=2x+1 と書いたとき，f という記号は「ラベル」です．f(x)=2x+1 という式は「説明書」です．
それでは，(1)の「箱」は何か？ どこにあるのか？ それは目に見えません．「1を入れたら3が出てくる，100を入れたら201が出てくる，… 一般に x を入れたら 2x+1 が出てくる」という『現象』そのものが「箱」すなわち「関数」なのです．
つまり，数学では「機能(=function)」そのものを「関数(=function)」と呼ぶのです．
「機能」そのものは目に見えない，とらえどころのない抽象的な『現象』です．数学では，抽象的な「機能」を手に取って扱えるようにするために，「機能」を仮想的に「箱（ブラックボックス）」と思って，その箱に f という「ラベル」を貼って，さらに， f(x)=2x+1 という「説明書」を書いておく，という方法を採るのです．
「機能」は「箱」に備わっているのであって，「ラベル」や「説明書」が機能を持つのではありません．

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最後に，「y=2x+1」あるいは「2x+1」という式が機能を表す？ という解釈について．

y=2x+1 や 2x+1 という式は，(1)(2)(3)のどれでもありません．せいぜい「不完全な説明書」です．言葉を補って
「この箱に x を入れると y が出てきます．ただし，このとき y と x の間には y=2x+1 という関係が成り立ちます」
または
「この箱に x を入れると 2x+1 が出てきます」
という文を作れば，やっと完全な「箱の説明書」になります．
でも，困ったことに，この箱には名前がありません．しかたないので，名前の代用として，「y=2x+1」あるいは「2x+1」という式を書いたラベルを箱に貼ることにします．
「箱」そのものは目に見えません．言葉を補って完全にした「説明書」が言い表している「機能」そのものが「箱」です．
y=2x+1 や 2x+1 という式は「説明書」や「ラベル」ですらなく，せいぜい「不完全な説明書」あるいは「ラベルの代用」としか呼べない代物です．「機能」を持った「箱」はやはり目に見えない抽象的な『現象』であって，y=2x+1 や 2x+1 という式は，それを手に取って扱うための，不完全な（洗練されていない）表現手段に過ぎません．

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.8

boiseweb

#6です．
http://okwave.jp/qa/q6322678.html
への回答で
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お願いですから，「『正解』は何なのですか？」「僕の考えは正しいのですか，誤りなのですか？」などの問いで回答者に執拗に迫るのは，やめてください．
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と述べた私の意図を理解してもらえないようで，失望しています．

質問者さんの一連の質問に対して，私は一貫して次の態度で回答しています．
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「関数の捉え方について，僕の考えは正しいのでしょうか？」という問いに対して
(1) 「正しい」とは決して言わない．
(2) 「誤りだ」とは決して言わない．
(3) 「その理解のしかたを『私は推奨しない』，その理由は『現代の数学はその立場を採っていない』の一点に尽きる」という立場で説得を試みる．
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ほかの回答者の方々の中には，次の立場をとる方もいらっしゃいます．
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「関数の捉え方について，僕の考えは正しいのでしょうか？」という問いに対して
(1) 「正しい」とは決して言わない．
(2) 「誤りだ」とは決して言わない．
(3') 「うーん，その解釈はわからないでもない，過去にはそういう解釈がなされていた時代もあるからね」という立場で回答する．
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でも，一連の質問に対して，可能な回答は上記2パターンのどちらかでしかあり得ません．質問そのものが「正しい」「誤り」と一刀両断に決定できる性質の問いではなく，本人が「事実をどう理解し，どう納得するか」を見出すことによって解決されるべき問いだからです．
だから，
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(a) 「あなたの理解は正しいですよ」と太鼓判を押してほしい，
さもなくば，
(b) 「あなたの理解は間違いですよ」ときっぱり答えてほしい
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という期待を持って執拗に質問を繰り返すなら，問答は永久に終結することはないでしょう．

「関数の捉え方について，僕の考えは正しいのでしょうか？」という問いを解決できるのは，結局，質問者さん自身の「悟り」でしかありません．
「悟り」とは，数学の内容の幅広い知識，数学という学問の思想，歴史，文化の理解，そして，数学的概念の本質を見抜くに足る数学的センスの成熟があってこそ，開けるものです．

自らの悟りによって答を見出すまで，この問いは封印して心にしまっておくことです．

お礼

回答ありがとうございます。
申し訳ありません。
自分でも失礼だとは分かっていましたが、最後に自分の言葉で確認し、回答を頂いてやっと解決できる、というようでないと気が済まない性格なのです…。

しかしやはり、最後には自分の解釈で解決しなければならない問いなのですね。

申し訳ないです。

回答No.7

noname#221368

#5です。
　#6さんの説明に、文句のつけどころはありません^^。

　で、要らない事を言います。結局これは、写像（関数）の定式化のスタイルの問題だと思います。現行のスタイルは「こう」決まっている、もしくは「こう」決めたなら、「こう」に従わないものは、みな不可です。それが定式化です。

　でもそれをわかった上で、質問者様の仰るような「意」は、自分はありだと思います。歴史的にはそうなりませんでしたが、「意」のような定式化もあり得たはずです。じっさい今より、代数関数や解析関数などが、もっと盛んに研究されていた時代は、関数は、「意」のような捉え方でなかったのかな？、と想像しています。

　なので、どこが納得いかないのか？、何を意図した質問なのか？を、「重要な事ではないと思いますが」などと仰らずに、説明されてはいかがでしょうか？。そうでないと、不毛な応答になる気がします。

お礼

回答ありがとうございます。

補足

すみません…。
重要ではないという訳でもないですね。
自分が悩んでる事は、頂いた質問から、

『y=（xの式）において、yも（xの式）も機能をなさない。つまりy=（xの式）において、yと（xの式）の間にfが省略されていて、そのfと名付けられた機能が変換しているのだと捉えられるのだろうか?』

『y=2x+1において、xを箱に入れて出てくるyは2x+1。1を入れたら2・1+1、2を入れたら2・2+1…のように出てくる2x+1のxが入れた値によって置き換わる（つまり代入）だけで、xは何でもいい数だから、yは常に2x+1という値をとる。つまり出てくる2x+1はyのルールだというようにも捉えられるのか?』
という事です。
前回と同じ事を言ってすみませんが…。

しかし、頂いた回答から、fが省略されているみたいにありましたので、一応この2通りの解釈で大丈夫だとは思います。

この、補足回答して頂いた回答でも、自分の「意」はありだと仰ってますが、無知で申し訳なく、「意」という一文字ではなんとなく意味が分からなかったので、辞書で調べたところ、「考え方」などとありました。

すなわち、やはり挙げた2通りの捉え方は、一応正しい（というかその考えはアリ）という事ですよね?
しかし2番目に挙げた捉え方よりも、1番目の捉え方の方が好ましいとは思います。
2番目は単なる考え方の一つだと思います。

しつこくすみません。

回答No.5

noname#221368

#3です。結局、感覚的には#4さんに尽きると思います。

＞2x+1は出てきた値を示す同時に、fの機能も示していて、2x+1というルール（機能）によって変換されるから、y=2x+1において、2x+1は機能かつ値でいいでしょうか?

　少なくとも、今の数学の正式な定式化では駄目です。今の数学では、「値」と、「機能」や「ルール」は厳密に区別したがります。前回、

　　f：x→2x＋1　　　(1)

という書き方をしましたが、(1)において「ルール（機能）」を表すのは、fで、2x＋1ではありません。xや2x＋1は、あくまで関数の一点の個々の値です。(1)をもっと具体的に書いてみます。

　　x　　　y

　　x1　2x1＋1
　　x2　2x2＋1
　　x3　2x3＋1
　　・　　・
　　・　　・　　　　　　(2)
　　・　　・
　　xn　2xn＋1
　　・　　・
　　・　　・
　　・　　・

　上に書いた、各xに対応するyの値を並べた「表」の「省略記法」が、f：x→2x＋1だというのが、今の数学の立場です。もちろんxが実数なんかを走る場合は、上記の表は完結しないし（xnが無限個あるから）、全てを書き尽くすのは不可能です。でも、書き尽くした処は想像できるよね？、というのが今の数学の立場です。

　f：x→2x＋1の機能fは、この表を全て見渡す事で得られると考えます。それがf（f(x)でなく）の定義です。というのは、(2)を認めれば、

　　x　　　y

　　x1　　y1
　　x2　　y2
　　x3　　y3
　　・　　・
　　・　　・　　　　　　(3)
　　・　　・
　　xn　　yn
　　・　　・
　　・　　・
　　・　　・

からでも、関数fを定義できるからです。これによればf：x→yに、なんら規則性がなくても、fは定義できます。まさにブラックボックスです。

　これが関数の外延的定義であり、x全体の見渡しの意味であり、#1さんの「とにかくグラフになれば良い」の意味でもあります。
　(3)にような大雑把な（？）定義を受け入れる事で、式にもできない関数も平等に定式化できます。今の数学の関数の定義は、とにかく何でも定式化できるようにしよう、という方向です。個々の関数の特殊事情については、それこそy＝f(x)を利用して、個々に考えればいいじゃないか！、という訳です。

　もうお気づきと思いますが、(3)を受け入れれば、「ルール」と「機能」の差はありません。ただ「関数」を定義する「数表」があるだけです。

　さらに(3)は、xやyが数値でなくてもOKです。xやyが数値でないとき、(3)で定義される「ルール」なり「機能」は「写像」と言われます。特に(3)で、xやyが数値のとき関数と呼ばれる事が多いです。さらにxの定義域とyの値域が一致するとき、xやyが数値であろうとなかろうと「変換」と呼ばれる事が多いです。

　実務者として言うと、以上の事は、どうでも良いんです。現実にはy＝f(x)がわかっていないとどうにもなりません。でも本を読む知識としては、上記の事は必要かも知れません。現実は、#4さんです。

お礼

回答ありがとうございます。

補足

本当に何度もすみません…。
という事はやはり、y=（xの式）とあれば、yと（xの式）の仲立ちをしてくれるfが実はyと（xの式）の間に省略されていて、それが機能していると捉えれば大丈夫でしょうか?

また、fと書かれた箱に、
xを入れたら2x+1、1を入れたら2・1+1、2を入れたら2・2+1…
というように出てくるyは常に2x+1で、xは何でもいい値、つまりそのxが入れた値によって置き換わるだけだから、2x+1も変換後のルールだと言ってはおかしいのでしょうか…?
つまり、fが省略されていて機能しているという捉え方と、出てくるyが常にあるルールで変換されるという2つの捉え方があるのかなと思いました。
まあ実際、重要な事ではないのですが…。

回答No.4

k_kota

No2の補足への回答です。

とにかく、入力があって出力がある。それだけ。
私は変換と思う場合も多いですが、場合によって写像という方がイメージがわくかも知れませんし、加工でもいいです。

それが行う動作を何と呼ぶのかはあなたの自由です。

少なくとも電子回路に使う場合にルールと読んだら違和感がありますし、
物理の自由落下の物として扱う場合には機能と呼ぶのは変です。

ブラックボックスは中身が未知の系と言う意味しかありませんので、
そこでの処理を何と呼ぶのかは決まってません、処理とも限りませんし。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

noname#221368

これでどうでしょうか？。

　y＝2x＋1という「式」は、xを一つ決めた時の「関数値」を表すだけで、機能もルールも表していません。ただしこの「式」からは、機能とルールを読み取れます。この時やっている事はなんでしょう？。

　　・yの変化を決める、x全体の「見渡し」です。

　だからこそ「xは独立変数」という言葉があります。これを前提に、関数の定義があります。任意のxで、f(x)＝2x＋1という意味で、

　　f：x→2x＋1　　　(1)

と書くのが、今の数学での正式な記法です。「→」は、本当はちょっと違う矢印になりますが、Webでは変換しても文字化けするので、ここではやめます。

　式(1)を、x全体の「見渡し」を前提に観察します。(1)は、機能でありルールであり、いちおうブラックボックスとも考えられると思います。そのように、読めませんか？。

　　・数学はこのように、非常に効率的な「外延的」定式化（約90年前）をしました。

　あなたの気持ちは、すごく解るつもりです。(1)を受け入れるのに、自分もかなり紆余曲折がありました。関数だって、その概念装置を内包的に定義してくれないと、なかなか納得できないとは思います。

　でもそれでは、「式にも書けない関数」を扱う場合、やって行けないんです・・・。

お礼

回答ありがとうございます。

補足

2x+1はルールと書きましたが、ルールによって変換される、つまりルールが働きかけていると捉えられます。
だから、2x+1は出てきた値を示す同時に、fの機能も示していて、2x+1というルール（機能）によって変換されるから、y=2x+1において、2x+1は機能かつ値でいいでしょうか?

回答No.2

k_kota

ブラックボックスなのでしょう。
入力を入れると中がどうなっているか知らないが出力が得られる。
入力をxとして、出力をyとした時にたまたまその系は
y=2x+1と言う結果が得られた。

それだけの話です、そして、それをどうゆう風に解析するのかは立場や学問に委ねられます。なので、あなたのごちゃごちゃした言葉はそのような立場で考えるかに基づいて決めてください。

写像はブラックボックスとは違います。
像を別な空間に写すと言う意味が暗に含まれています。
点と点が対応すると言うニュアンスは確実にあると思います。
また、中身がはっきりしている場合も含みます。

数学の観点か解析系なのか分からないですが、まずあなたの立場をはっきりしてください。一般的な用語の使い方ではありませんので意味が伝わりません。

お礼

回答ありがとうございます。

補足

解析とか数学とかの立場はよく分かりませんが…。
2x+1はつまり、出てきた値でもあり、fの機能でもあるという、２つの見方があるんですかね?

回答No.1

tmpname

こういった抽象的な話で混乱が生じる一つの
原因に、そもそも話の中に出てくる用語の定義が
良く分からないと言う事が挙げられます。
一度ご自身で自分が「機能」とか「ルール」とか
いう用語をどういう意味で使っているのか確認されては
いかがでしょうか。

現代の数学では、xy平面（とか）に書いたグラフの事を
写像という、という以外の特別の意味はありません。

お礼

回答ありがとうございました。

補足

いろいろ調べてみたら、ルールによって変換されるとか書いてありました。つまりルールが働きかけてます。
だから、ルールも機能も同じ意味なんですね?
すなわち、2x+1は機能でもあり、値でもあると。