数式の証明のひねりです。

質問

a>0、b>0、a+b=1　のとき
a√x + ｂ√ｙ　と　√aｘ+by　の大小を
不等号を用いて表せ

回答No.5

mister_moonlight · ベストアンサー

まぁ、＃1さんが言われるように、2乗の差をとるのがorthodox。
凸関数なんかを持ち出す必要もない、そんなものは教科書にも載ってないし、又、それを使わなければ解けないわけでもない。
相手が高校生だという事を考えずに、やたらと自分の知識を振り回す馬○には困ったもんだ。

気がつけば、シュワルツの不等式が使える。

簡単のために、√x ＝m、√ｙ＝nとすると、m≧0、n≧0.
とすると、a√x + ｂ√ｙ＝am＋bn、√aｘ+by　＝√(am＾2+bn＾2)であるから、(a+b)*(am＾2+bn＾2)≧(am+bn)＾2。　a+b＝1　から、am＾2+bn＾2≧(am+bn)＾2。　
a＞0、b＞0、m≧0、n≧0から、√(am＾2+bn＾2)≧(am+bn)　→　√(aｘ+by)≧a√x + ｂ√ｙ。
後は、等号が成立する場合の条件を確かめるだけ。

お礼

ありがとうございました

回答No.4

alice_44

関数 f が「上に凸」とは、
a＋b=1 (a,b>0) のとき af(x)＋bf(y)≦f(ax＋by)
であるこをいう。従って、
No.2 の回答は、「そうなることを知ってるよ」
と言っているに過ぎず、何も考察していない。

凸性を利用して、質問の問題を解くのなら、
「∀x, f''(x)<0 ならば、f は上に凸である」
という定理を経由するのがよいかと思う。
この定理は、
f の平均変化率に対して平均値定理を使えば、
示すことができる。

お礼

ありがとうございました

回答No.3

noname#121794

訂正。俺何やってんだろうか。
下に凸じゃなく上に凸です。

お礼

丁寧に訂正いただき
ありがとうございます

回答No.2

noname#121794

普通は2乗して両辺比較して計算するが、貴方がひねりと言っている以上こちらも少し
変わった回答で書くよ。
てきぱきに回答を言えば
(解)
f(x)=√x (x>0)と定義し f(x)は"下に凸"なので
a＋b=1　(a,b>0)のとき
　　　　　　　　　　　af(x)＋bf(y)≦f(ax＋by)
　　すなわち　　　　a√x + ｂ√ｙ≦√aｘ+by　　　　但しx,y>0

というように瞬時にして出せる。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

nag0720

それぞれの２乗の差を計算して、相加相乗平均の定理を適用する。

お礼

ありがとうございました