大至急

質問

いつも丁寧な回答有難うございます。

高校数学の問題です。

次の不等式を証明せよ。
また、等号が成り立つのはどのような場合か。
ただしa、b、X、yは実数とする。

(a二乗+b二乗)(X二乗+y二乗)≧(ax+by)二乗

宜しくお願い致します。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

左辺を右辺に寄せて
（ａ^2　＋　ｂ^2）（ｘ^2　＋　ｙ^2）　－　（ａｘ　＋　ｂｙ）^2　≧　０
を証明すればよいですね。

左辺を普通に展開して
ａ^2ｘ^2　＋　ａ^2ｙ^2　＋　ｂ^2ｘ^2　＋　ｂ^2ｙ^2　－　ａ^2ｘ^2　－　２ａｂｘｙ　－　ｂ^2ｙ^2
　＝　ａ^2ｙ^2　＋　ｂ^2ｘ^2　－　２ａｂｘｙ
　＝　（ａｙ　－　ｂｘ）^2

ａ、ｂ、ｘ、ｙ　が実数なので、かっこの中も実数だから、
（ａｙ　－　ｂｘ）^2　は実数の２乗。
ということは、ゼロ以上。

等号が成り立つのは、
（ａｙ　－　ｂｘ）^2　がゼロのときなので、
ａｙ　＝　ｂｘ　のとき

回答No.1

gohtraw

左辺：a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2
右辺：a^2x^2+2abxy+b^2y^2
左辺－右辺＝a^2y^2+b^2x^2-2abxy
=(ay-bx)^2
あとはご自分で。