指数の問題がわかりません

質問

「x+2y+1=0のとき2＾x+4＾yの最小値を求めよ」
という問題がわかりません．
解説をみても知らない法則（ラグランジュの乗数法）などが出てきていてわかりません．

「4＾y=2＾2y」だから2y=-1-xを代入して，
2＾x+2＾-1-xでどうにかなると思ったのですが，ここから先に進めません．

「対数」も，できるだけ簡単なもので解説してくれませんか？

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

＞途中まではわかるのですが，後半がわかりません．他の方法はありませんか？

相加平均・相乗平均も駄目なら。。。。。

＞よって、a＞0、b＞0で　a*b＾2＝1/2の時、a＋b＾2の最小値を求めると良い。

a*b＾2＝1/2より、a＋b＾2＝a＋（1/2a）＝k　（k＞0）として、分母を払うと、2a＾2-2ka＋1＝0　‥‥(1)　が　a＞0から少なくても1つの正の実数解を持つと良い。
ところが、2解の和＝k＞0、2解の積＝1/2　より2解共に正であるから、判別式≧0であると良い。
実際計算すると、k＞0から　k≧√2.　この時、(1)より　a＝1/√2.

お礼

ありがとうございます．
２次式の最大，最小にできるのですね．気づきませんでした．
これからもよろしくお願いします．

回答No.6

noname#101087

ミス訂正。

　2^x = e^{x*LN(2)} などで使います。

お礼

ありがとうございます．
いろいろな書き方があるのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.5

noname#101087

>２つ目の式にあるLNとは何ですか？

自然対数のつもりでした。(スプレッドシート流の記法)
2^x = LN(2)*e^x などで使います。

あ、「対数」は禁じ手でしたか。

お礼

ありがとうございます．
少しなら対数がわかるのですが，ほんのちょびっとなので・・・・
これからもよろしくお願いします．

回答No.3

noname#101087

>「4＾y=2＾2y」だから2y=-1-xを代入して，2＾x+2＾-1-xでどうにかなると思ったのですが，ここから先に進めません．

直進する手なら、
f(x) = 2^x + 2^(-x-1)
f'(x) = LN(2)*{2^x - 2^(-x-1)}
.....

補足

ありがとうございます．
２つ目の式にあるLNとは何ですか？
これからもよろしくお願いします．

回答No.2

mister_moonlight

2＾x＝a、2＾y＝bとすると、a＞0、b＞0.
4＾y=2＾2y＝b＾2であり、a*b＾2＝2＾（x+2y）＝2＾（-1）＝1/2.
よって、a＞0、b＞0で　a*b＾2＝1/2の時、a＋b＾2の最小値を求めると良い。
相加平均・相乗平均から、a＋b＾2≧2√（a*b＾2）→　a＋b＾2≧√2.
等号は、a＝b＾2の時だから、a＞0、b＞0、a*b＾2＝1/2　より、（a、b）＝（1/√2、1/2）。

補足

ありがとうございます．
途中まではわかるのですが，後半がわかりません．
他の方法はありませんか？
これからもよろしくお願いします．

回答No.1

proto

＞2＾x+2＾-1-xでどうにかなると思ったのですが，ここから先に進めません．

　　2^x+2^(-1-x) = 2^x + 2^(-1)*2^(-x) = 2^x +(2^(-x))/2
ここで、a=2^x,b=(2^(-x))/2として相加相乗平均の関係、
　　(a+b)/2 ≧ √(a*b)
を適用してみましょう。
そのまんま最小値が出てくると思いますよ。

お礼

ありがとうございます．
しかし，相加相乗平均を初めて聞きました．
他に方法はありませんか？
これからもよろしくお願いします．