数Iの範囲で式と計算の問題

質問

相異なる数a,b,cが、a^3-2a^2=b^3-2b^2=c^3-2c^2 を満たすとき、a+b+cの値を求めよ。
という問題があり、数IIの三次方程式の解と係数の関係を使えば２と瞬殺できるのですが、数Iの範囲で解かなければならず困っています。
どなたか回答お願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)
=(a+b+c)(a^2c-a^2b+ab^2-ac^2-b^2c+bc^2)
=a^3c-a^3b+ab^3-b^3c+bc^3-ac^3
=a(b^3-c^3)+b(c^3-a^3)+c(a^3-b^3)
=a(2b^2-2c^2)+b(2c^2-2a^2)+c(2a^2-2b^2)
=2(a-b)(b-c)(c-a)

a,b,cは相異なる数だから、a+b+c=2

お礼

回答ありがとうございます。
その因数分解には気付きませんでした。
スッキリ解決しました。

回答No.3

noname#157574

3次方程式の解と係数の関係は、数学Iは言うまでもなく、数学IIでも学習指導要領の範囲外です。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
確かに一部の数IIの教科書、参考書には書いてありますが、学習指導要領の範囲外みたいですね。

回答No.2

hugen

a^3-2a^2=b^3-2b^2 　から　a^2+ab+b^2-2(a+b)=0
b^3-2b^2=c^3-2c^2 から　b^2+bc+c^2-2(b+c)=0(-
a^2+ab-bc-c^2-2(a-c)=0
(a-c)(a+c)+b(a-c)-2(a-c)=0

お礼

回答ありがとうございます。
このやり方もありですね。