統計学？

質問

初めて投稿します。まともに勉強もしないで生きてきて全然わからない問題あります。
Aの測定値は、平均値μ1、標準偏差のα1の分布
Bの測定値は、平均値μ2、標準偏差のα2の分布
Aの測定値の分布とBの測定値の分布から１つずつの値を抜き取ったとして
Aの測定値－Bの測定値という値を計算すると、その分布は正規分布する。
正規分布の平均値と標準偏差は下記のとおりである。
平均値μ＝μ1－μ2である。なぜこうなるのかを記述せよ。
さらに標準偏差を導きなさい。
言葉の意味も含めて教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いいたします。

回答No.1

井口 豊（@Iguchi_Y） · ベストアンサー

まともに証明して説明すると，非常に面倒で，かえって理解できないかもしれません。

それで，直感的な話をします。

Aから，a1, a2, a3,...
Bから, b1, b2, b3...
とn回取ってきて，差を取り，その平均を求めると

{(a1-b1)+(a2-b2)+(a3-b3)+.....+(an-bn)}/n
={(a1+a2+a3+...+an) - (b1+b2+b3+....+bn)}/n
=(a1+a2+a3+...+an)/n - (b1+b2+b3+....+bn)/n
となり，それぞれの集団から取った標本の平均の差になることがわかります。

この，それぞれの集団から取った標本の平均，という行為を何度も繰り返すと，それら平均値の分布は，正規分布となります。

これを，中心極限定理，と呼びます（非常に重要な定理）。

そして，そのようにしてできた平均の差の分布もまた正規分布となります。
これを，正規分布の再生性と言います。

一方，分散はどうなるかというと，和であるα1＋α2となります。
これは，それぞれの標本の差を取ったわけですが，全体として出来上がった集団は，AとBが一緒になったもの，例えば，背が高い集団と低い集団が混じったような状態，であるから，それだけバラツキが大きくなったと言えるからです。

お礼

返信遅れて申し訳ございません。回答ありがとうございました。
おかげさまで助かりました。これからもよろしくお願いいたします。