助けて下さい！！

質問

高校２年の学生です
本日、数学の授業で課題が出たのですが全く分かりません。助けて下さい
課題のテーマは『ピタゴラスの定理の逆を証明せよ』です。まったく分かりません・・・
おそらく『逆』とは『対偶』の事を言っていると思うのですが
この場合、教科書に載っている定理に適当な数を代入すればいいのでしょうか？
説明不足で申し訳ありません。
よろしくお願いします。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

ピタゴラスの定理とは　「△ABCで∠B=90°」⇒「CA^2=AB^2+BC^2」　になるということです。
　そして、定理の逆とは、対偶とは別物で　仮定と結論を入れ替えたものです。
　（命題P⇒Qがあったとき、この命題の逆はQ⇒Pで　対偶はQ￣⇒P￣、裏はP￣⇒Q￣です。）

　　ピタゴラスの定理の逆：　「△ABCでCA^2=AB^2+BC^2」⇒「∠B=90°」

　高校2年生なら　三角関数の余弦定理を習っていると思いますが、これと見比べてみたらどうでしょう。

　　余弦定理：　CA^2=AB^2+BC^2-2AB・BC cos∠B　　・・・・(1)

　ここで、式(1)と「CA^2=AB^2+BC^2」を組み合わせたら、cos∠B=0 だということが分かりますよね。
　そうしたら、∠B=90°　と分かり証明が完了すると思いますよ。

お礼

丁寧にありがとうございます。
やっぱり基礎は大事ですね
がんばります

回答No.2

noe03

すごく詳しく書いているサイトを見つけました。
もう何も言うことはありません。

参照リンクをどうぞ。

参考URL：

http://ameblo.jp/masanori432/entry-10008801935.html

お礼

メッチャ助かりました。ありがとうございます！！

回答No.1

gohtraw

ピタゴラスの定理が「真」であればその対偶は「真」です。証明するまでもないのでは？問題は「逆を証明せよ」ですから、
三辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢの長さがａ，ｂ，ｃである三角形ＡＢＣについてａ＾２＋ｂ＾２＝ｃ＾２が成り立つならば、∠Ｃは直角であることを証明すればいいのかな？

頂点Ｃを原点とし、頂点Ａ、Ｂの座標をそれぞれ（ｐ、ｑ）および（ｒ、ｓ）とすると、
ａ＾２＝ｒ＾２＋ｓ＾２
ｂ＾２＝ｐ＾２＋ｑ＾２
ｃ＾２＝（ｐ－ｒ）＾２＋（ｑ－ｓ）＾２
ａ＾２＋ｂ＾２＝ｃ＾２にこれらを代入すると
ｐ＾２＋ｑ＾２＋ｒ＾２＋ｓ＾２＝ｐ＾２ー２ｐｒ＋ｒ＾２＋ｑ＾２－２ｑｓ＋ｓ＾２
整理して
ｐｒ＋ｑｓ＝０
これはベクトルＣＡとベクトルＣＢの内積であり、いずれのベクトルも絶対値はゼロでないので、両ベクトルのなす角Ｃの余弦（ｃｏｓ）はゼロになります。三角形なので角Ｃの範囲はπ未満であり、個の範囲で余弦がゼロになるのはπ／２です。

お礼

ありがとうございます！
助かりました