直感的に微分と積分が逆演算なのを知りたいです

質問

こんにちは。
質問させてください。

微分と積分が逆演算なのは、式を使わず、直感的に知りたいと思って調べたんですがなかなかありません。

ピタゴラスの定理で、辺をいっぺんとする正方形を描いて証明するみたいに、視覚的に？　あるいは、計算によらない方法で？　説明してくれるものはないでしょうか？

ご存じの方教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

hatake333 · ベストアンサー

y = x^2　…(1)
を微分すると，
　　y' = 2x　…(2)
というのは知っていますよね．逆に，
　　y' = 2x
を積分すれば，
　　y = x^2
となり元に戻ります．
このことを，グラフから考えて見ましょう．

まず，グラフ(1)をシャーペンなど消せるもので描きます．
そして，グラフ(1)の各点での接線を大体でいいので，ボールペンで描いてください．
実は，その接線の傾きが，各点のx座標における(2)の値になっています．
つまり，微分するというのは，微分する前のグラフの各点での接線の傾きを
与えるグラフだということを知っておきましょう．

次に，先ほど描いた，グラフ(1)を消しゴムで消してください．
すると，接線だけが残りますよね．しかし，グラフ(1)の形は不思議が
ぼんやりと浮かんでいませんか？
これが積分だと思ってください．(厳密には違いますが，イメージです)
つまり，積分すると，各点での接線がすべて集まり，もとのグラフが現れる感じです．

この図の描き方だと，3次関数などでは描けないはずですが，接線を十分に短く描いて，集めればそれなりの形が得られると思います．
いかがでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど、そっかーと思いました。
確かに元のグラフがイメージできます。

そっか、ｙ＝２ｘを積分するのは、あれですね、
その点でのグラフの傾きだから、確かにｙ＝ｘ＾２
ができそうな気がします。
ほんとですねー。なるほどなるほどー。

描きたい積分のグラフの、ある点での傾きはｙ＝２ｘが示す。
そのグラフの傾きを、xが増えるに従って、ｙ＝２ｘに応じて
傾きを変化させていけば、ｙ＝ｘ＾２　が描けます。
こういうことですね！！！

僕は積分ていうと、そのグラフの下の面積、x軸とグラフの間の面積と思ってたので、これは思いつかなかった・・。

そっか、もしかして分かったかもしれない！

結構感動かもしれません。

教えてくれてありがとうございました(~0~)